État stable et convergence à long terme
Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes
À retenir
• État stable : PM = P, coefficients de P positifs et de somme 1. • Si M, ou l'une de ses puissances, n'a aucun coefficient nul : l'état stable est unique et P_n = P pour tout P_0. • L'état à long terme ne dépend alors pas de l'état initial.
Le cours
Définition de l'état stable Un état probabiliste P = pmatrix x & y pmatrix (ou à k coordonnées) est dit état stable (ou distribution stationnaire) de la chaîne de Markov s'il reste invariant par la transition : P M = P avec x + y = 1 (x 0, y 0) Théorème de convergence (graphes probabilistes réguliers) Si la matrice de transition M ne contient pas de 0 (ou s'il existe une puissance M^k dont tous les coefficients sont strictement positifs), alors : 1. Il existe un unique état stable P. 2. Quel que soit l'état initial P_0, la suite des états probabilistes (P_n) converge vers cet état stable : _n + P_n = P Méthode de détermination de l'état stable Pour un système à deux états avec P = pmatrix x & y pmatrix et M = pmatrix a & b \\ c & d pmatrix : L'équation P M = P fournit deux équations dépendantes. On remplace impérativement l'une des deux par la condition de normalisation x + y = 1.
Dans ce chapitre
- Arbres pondérés et formule des probabilités totales de Première
- Produit scalaire et équations de droites dans le plan de Première
- Probabilités conditionnelles et suites arithmético-géométriques de Première
- Vocabulaire des graphes orientés et pondérés
- Graphes probabilistes et matrice de transition stochastique
- Distribution probabiliste à l'étape n
- Calcul explicite de l'état probabiliste par puissance de matrice
- Recherche et caractérisation de l'état stable
- Théorème de convergence pour les graphes probabilistes réguliers
- Étude complète d'une chaîne de Markov à deux états
- Modélisation de marches aléatoires et de processus stochastiques
- Graphes, matrice de transition et états probabilistes
- État stable et convergence à long terme
- Bilan : Synthèse et méthode sur Graphes probabilistes et chaînes de Markov