Bilan : Synthèse et méthode sur Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Graphe probabiliste → matrice de transition M, chaque ligne de somme 1. • Évolution : P_n+1 = P_n M et P_n = P_0 M^n. • État stable : PM = P et somme des coefficients égale à 1. • Si M (ou une puissance) n'a aucun zéro : P_n P indépendamment de P_0.

Le cours

Bilan méthodologique : Modélisation stochastique et chaînes de Markov L'étude des chaînes de Markov en Terminale combine probabilités conditionnelles et calcul matriciel pour modéliser des phénomènes aléatoires à mémoire courte (la transition ne dépend que de l'état présent). Étapes de modélisation 1. Identifier les états du système et tracer le graphe orienté pondéré. 2. Écrire la matrice de transition M (ligne i = transitions depuis l'état i). 3. Calculer les termes successifs : P_n = P_0 M^n. 4. Déterminer l'état stable P en résolvant le système \PM = P, p_i = 1\. Comportement asymptotique • Si M^k est à coefficients strictement positifs, la convergence vers l'état stable P est garantie. • La matrice M^n converge vers une matrice dont toutes les lignes sont identiques et égales à P : _n + M^n = pmatrix P \\ P pmatrix Pièges classiques • Ordre du produit : P_n+1 = P_n M (état ligne à gauche), jamais M P_n. • Sommes : ce sont les lignes de M qui valent 1, pas les colonnes. • État stable : PM = P seule ne suffit pas, il faut ajouter la condition de somme égale à 1. • Convergence : vérifier l'absence de zéro dans M (ou dans une puissance) avant d'invoquer le théorème. Cas de deux états : tout en une ligne Pour M = pmatrix 1 - a & a \\ b & 1 - b pmatrix avec 0 < a < 1 et 0 < b < 1 : p_n+1 = (1 - a - b)p_n + b, état stable pmatrix b/a+b & a/a+b pmatrix, et p_n = b/a+b + (p_0 - b/a+b)(1 - a - b)^n.

Dans ce chapitre

• Arbres pondérés et formule des probabilités totales de Première
• Produit scalaire et équations de droites dans le plan de Première
• Probabilités conditionnelles et suites arithmético-géométriques de Première
• Vocabulaire des graphes orientés et pondérés
• Graphes probabilistes et matrice de transition stochastique
• Distribution probabiliste à l'étape n
• Calcul explicite de l'état probabiliste par puissance de matrice
• Recherche et caractérisation de l'état stable
• Théorème de convergence pour les graphes probabilistes réguliers
• Étude complète d'une chaîne de Markov à deux états
• Modélisation de marches aléatoires et de processus stochastiques
• Graphes, matrice de transition et états probabilistes
• État stable et convergence à long terme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Graphes probabilistes et chaînes de Markov