Produit scalaire et équations de droites dans le plan de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Produit scalaire en repère orthonormé : u v = xx' + yy' ; orthogonalité si et seulement si il est nul. • La droite ax + by + c = 0 a pour vecteur normal npmatrix a \\ b pmatrix et pour vecteur directeur upmatrix -b \\ a pmatrix. • Droite passant par A de vecteur normal n : M d AM n = 0. • Deux droites sont sécantes si et seulement si ab' - a'b 0 ; l'intersection résout le système.

Le cours

1. Produit scalaire en repère orthonormé Pour upmatrix x \\ y pmatrix et vpmatrix x' \\ y' pmatrix dans un repère orthonormé : u v = xx' + yy' Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. 2. Vecteur normal et équation cartésienne Un vecteur n non nul est normal à une droite d s'il est orthogonal à un vecteur directeur de d. Si d passe par A et admet npmatrix a \\ b pmatrix pour vecteur normal : M d AM n = 0 ax + by + c = 0 Réciproquement, la droite d'équation ax + by + c = 0, avec (a, b) (0, 0), a pour vecteur normal npmatrix a \\ b pmatrix et pour vecteur directeur upmatrix -b \\ a pmatrix. 3. Intersection de deux droites 1. Les droites ax + by + c = 0 et a'x + b'y + c' = 0 sont sécantes si et seulement si leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires : ab' - a'b 0. 2. Le point d'intersection est alors l'unique solution du système formé par les deux équations (substitution ou combinaison). 3. On vérifie la solution dans les deux équations. 4. Utilité pour les états probabilistes Un état à deux issues (x\ ;\ y) vérifie x + y = 1, x 0, y 0 : c'est un point du segment de la droite x + y = 1 (vecteur normal pmatrix 1 \\ 1 pmatrix) compris entre (1\ ;\ 0) et (0\ ;\ 1). L'état stable d'une chaîne à deux états sera l'intersection de cette droite avec une seconde droite.

Dans ce chapitre

• Arbres pondérés et formule des probabilités totales de Première
• Produit scalaire et équations de droites dans le plan de Première
• Probabilités conditionnelles et suites arithmético-géométriques de Première
• Vocabulaire des graphes orientés et pondérés
• Graphes probabilistes et matrice de transition stochastique
• Distribution probabiliste à l'étape n
• Calcul explicite de l'état probabiliste par puissance de matrice
• Recherche et caractérisation de l'état stable
• Théorème de convergence pour les graphes probabilistes réguliers
• Étude complète d'une chaîne de Markov à deux états
• Modélisation de marches aléatoires et de processus stochastiques
• Graphes, matrice de transition et états probabilistes
• État stable et convergence à long terme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Graphes probabilistes et chaînes de Markov