Calcul explicite de l'état probabiliste par puissance de matrice

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Pour tout n N : P_n = P_0 M^n, et plus généralement P_n+k = P_n M^k. • Coefficient (i, j) de M^n : probabilité d'être dans l'état j après n étapes en partant de l'état i. • Si P_0 = pmatrix 1 & 0 pmatrix, alors P_n est la première ligne de M^n. • Si M = QDQ^-1 avec D diagonale, alors M^n = QD^nQ^-1.

Le cours

1. Formule explicite De P_n+1 = P_n M on déduit, par récurrence sur n : P_n = P_0 M^n et plus généralement P_n+k = P_n M^k Initialisation : P_0 M^0 = P_0 I = P_0. Hérédité : si P_n = P_0 M^n, alors P_n+1 = P_n M = P_0 M^n+1 par associativité du produit. 2. Sens des coefficients de M^n Le coefficient (i, j) de M^n est la probabilité d'être dans l'état j à l'étape n sachant que le système était dans l'état i à l'étape 0. En particulier, si l'état initial est certain, P_0 = pmatrix 1 & 0 pmatrix, alors P_n est la première ligne de M^n ; si P_0 = pmatrix 0 & 1 pmatrix, c'est la seconde. Chaque ligne de M^n est donc elle-même un état probabiliste : M^n est encore une matrice stochastique. 3. Comment obtenir M^n 1. Pour une valeur précise de n : calculatrice ou produits successifs (M^2 = M M, M^4 = M^2 M^2…). 2. Pour tout n : conjecturer l'expression sur les premières puissances, puis la démontrer par récurrence. 3. Si l'énoncé fournit une écriture M = Q D Q^-1 avec D diagonale, alors M^n = Q D^n Q^-1 et D^n s'obtient en élevant les coefficients diagonaux à la puissance n. 4. Attention M^n ne s'obtient pas en élevant chaque coefficient de M à la puissance n (cela n'est vrai que pour une matrice diagonale).

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