Graphes, matrice de transition et états probabilistes

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• L'état probabiliste P_n est une matrice ligne à coefficients positifs de somme 1. • Matrice de transition M : m_ij = probabilité de passer de i à j ; chaque ligne a pour somme 1. • Relation fondamentale : P_n+1 = P_n M, d'où P_n = P_0 M^n.

Le cours

État probabiliste et convention d'écriture À l'étape n, l'état d'un système à k états est représenté par une matrice ligne : P_n = pmatrix p_n^(1) & p_n^(2) & & p_n^(k) pmatrix avec _i=1^k p_n^(i) = 1 Dans le programme français de Terminale, la convention standard adopte les vecteurs lignes et des matrices de transition stochastiques par lignes. Matrice de transition M La matrice de transition M est la matrice carrée dont le coefficient m_ij est la probabilité de passer de l'état i à l'état j en une étape : m_ij = P(X_n+1 = j X_n = i). La relation de récurrence fondamentale s'écrit : P_n+1 = P_n M Évolution à l'étape n Par récurrence immédiate, l'état probabiliste à l'étape n est donné par : P_n = P_0 M^n

Dans ce chapitre

• Arbres pondérés et formule des probabilités totales de Première
• Produit scalaire et équations de droites dans le plan de Première
• Probabilités conditionnelles et suites arithmético-géométriques de Première
• Vocabulaire des graphes orientés et pondérés
• Graphes probabilistes et matrice de transition stochastique
• Distribution probabiliste à l'étape n
• Calcul explicite de l'état probabiliste par puissance de matrice
• Recherche et caractérisation de l'état stable
• Théorème de convergence pour les graphes probabilistes réguliers
• Étude complète d'une chaîne de Markov à deux états
• Modélisation de marches aléatoires et de processus stochastiques
• Graphes, matrice de transition et états probabilistes
• État stable et convergence à long terme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Graphes probabilistes et chaînes de Markov