Distribution probabiliste à l'étape n

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• État à l'étape n : matrice ligne P_n = pmatrix p_n & q_n pmatrix avec p_n, q_n 0 et p_n + q_n = 1. • Relation de récurrence : P_n+1 = P_n M, l'état ligne étant placé à gauche. • Composante par composante : p_n+1 = p_n m_1,1 + q_n m_2,1 (probabilités totales).

Le cours

1. État probabiliste à l'étape n Pour un système à deux états, l'état probabiliste à l'étape n est la matrice ligne P_n = pmatrix p_n & q_n pmatrix où p_n et q_n sont les probabilités d'être dans l'état 1 et dans l'état 2 à l'étape n. C'est la loi de probabilité de l'état X_n : p_n 0, q_n 0, p_n + q_n = 1 Avec k états, P_n est une matrice ligne à k coefficients positifs de somme 1. P_0 est l'état initial. 2. Relation de récurrence La formule des probabilités totales, appliquée avec la partition des états à l'étape n, donne pour M = (m_i,j) : p_n+1 = p_n m_1,1 + q_n m_2,1, q_n+1 = p_n m_1,2 + q_n m_2,2 Ces deux égalités s'écrivent en une seule relation matricielle : P_n+1 = P_n M. 3. Méthode 1. Écrire P_n en ligne, à gauche de M. 2. Composante j de P_n+1 : produit de la ligne P_n par la colonne j de M. 3. Vérifier que la somme des composantes obtenues vaut 1. 4. Attention à l'ordre P_n est de format 1 2 et M de format 2 2 : le produit P_n M existe et donne une ligne 1 2, alors que M P_n n'est pas défini.

Dans ce chapitre