Probabilités conditionnelles et suites arithmético-géométriques de Première

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• p_n+1 = a p_n + b avec a 1. • Point fixe : L = b/1 - a. • v_n = p_n - L est géométrique de raison a : v_n = v_0 a^n p_n = L + (p_0 - L)a^n.

Le cours

Évolution probabiliste et récurrence Dans une modélisation probabiliste à deux états alternés (par exemple ensoleillé / pluvieux), la probabilité p_n de l'état à l'étape n vérifie une relation de récurrence arithmético-géométrique : p_n+1 = a p_n + b Point fixe (état d'équilibre) : réel L vérifiant L = a L + b L(1 - a) = b. La suite auxiliaire v_n = p_n - L est géométrique de raison a. D'où vient la relation ? On note A_n l'événement « être dans l'état A à l'étape n » et p_n = P(A_n). Comme (A_n, A_n) est une partition, la formule des probabilités totales donne : p_n+1 = p_n P_A_n(A_n+1) + (1 - p_n) P_A_n(A_n+1) Avec des probabilités conditionnelles constantes, on obtient a = P_A_n(A_n+1) - P_A_n(A_n+1) et b = P_A_n(A_n+1). Méthode de résolution Calculer le point fixe L = b/1 - a (possible car a 1). Montrer que v_n+1 = a v_n, puis calculer v_0 = p_0 - L. Écrire v_n = v_0 a^n, puis revenir à p_n = L + (p_0 - L)a^n. Si -1

Dans ce chapitre

• Arbres pondérés et formule des probabilités totales de Première
• Produit scalaire et équations de droites dans le plan de Première
• Probabilités conditionnelles et suites arithmético-géométriques de Première
• Vocabulaire des graphes orientés et pondérés
• Graphes probabilistes et matrice de transition stochastique
• Distribution probabiliste à l'étape n
• Calcul explicite de l'état probabiliste par puissance de matrice
• Recherche et caractérisation de l'état stable
• Théorème de convergence pour les graphes probabilistes réguliers
• Étude complète d'une chaîne de Markov à deux états
• Modélisation de marches aléatoires et de processus stochastiques
• Graphes, matrice de transition et états probabilistes
• État stable et convergence à long terme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Graphes probabilistes et chaînes de Markov