Modélisation de marches aléatoires et de processus stochastiques

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• Marche aléatoire sur \0, , N\ : de k, on va en k + 1 avec probabilité p, en k - 1 avec probabilité 1 - p. • État absorbant : m_k,k = 1, le mobile ne le quitte plus. • Probabilité d'atteindre N avant 0 : u_k = p\,u_k+1 + (1 - p)\,u_k-1, avec u_0 = 0 et u_N = 1. • Jeu équitable (p = 0,5) : u_k = k/N.

Le cours

1. Marche aléatoire Une marche aléatoire sur les entiers \0, 1, , N\ décrit un mobile qui, à chaque étape, avance d'une case avec probabilité p ou recule d'une case avec probabilité 1 - p. C'est une chaîne de Markov : la position suivante ne dépend que de la position actuelle. La matrice de transition, d'ordre N + 1, a sur la ligne k le coefficient p en colonne k + 1 et 1 - p en colonne k - 1, et des zéros ailleurs. 2. États absorbants Un état k est absorbant si m_k,k = 1 : une fois atteint, le mobile y reste. Exemples : la ruine d'un joueur (fortune 0), l'atteinte d'un objectif (fortune N), l'extinction d'une population. Sa ligne dans M ne contient qu'un 1 sur la diagonale. 3. Probabilité d'absorption : raisonner sur le premier pas On note u_k la probabilité d'atteindre N avant 0 en partant de k. En conditionnant par le résultat du premier pas (probabilités totales) : u_k = p\, u_k+1 + (1 - p)\, u_k-1 (1 k N - 1), u_0 = 0, u_N = 1 Dans le jeu équitable (p = 0,5), les différences u_k+1 - u_k sont constantes : la suite est arithmétique et u_k = k/N. 4. Attention Avec des états absorbants, le théorème de convergence vers un état stable unique ne s'applique pas : la limite dépend du point de départ.

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