Recherche et caractérisation de l'état stable

Terminale générale Spé · Option Mathématiques Expertes

À retenir

• État stable : PM = P, coefficients de P positifs et de somme 1. • Les équations de PM = P sont liées : on en garde toutes sauf une et on ajoute la condition de somme égale à 1. • Pour M = pmatrix 1 - a & a \\ b & 1 - b pmatrix avec a + b > 0 : P = pmatrix b/a+b & a/a+b pmatrix.

Le cours

1. Définition Un état probabiliste P est un état stable (ou invariant) de la chaîne de matrice M s'il n'est pas modifié par une transition : P M = P, coefficients de P positifs, de somme 1 Si P_0 = P, alors P_n = P pour tout n : le système reste dans cet état d'équilibre. 2. Méthode pour deux états 1. Poser P = pmatrix x & y pmatrix et écrire PM = P : on obtient deux équations équivalentes entre elles. 2. Garder l'une d'elles et lui adjoindre la condition x + y = 1. 3. Résoudre ce système de deux équations à deux inconnues, puis vérifier x 0 et y 0. Pour M = pmatrix 1 - a & a \\ b & 1 - b pmatrix avec a + b > 0, l'équation PM = P se réduit à ax = by (ce qui sort de l'état 1 compense ce qui y entre), d'où : P = pmatrix b/a+b & a/a+b pmatrix 3. Cas de trois états Avec P = pmatrix x & y & z pmatrix, l'équation PM = P fournit trois équations dont l'une est conséquence des deux autres : on en garde deux et on ajoute x + y + z = 1. Pour montrer qu'un état donné est stable, il suffit de calculer PM. 4. Attention Sans la condition de normalisation, PM = P a une infinité de solutions proportionnelles (avec x = 2y, le couple (2\ ;\ 1) convient mais n'est pas un état probabiliste).

Dans ce chapitre

• Arbres pondérés et formule des probabilités totales de Première
• Produit scalaire et équations de droites dans le plan de Première
• Probabilités conditionnelles et suites arithmético-géométriques de Première
• Vocabulaire des graphes orientés et pondérés
• Graphes probabilistes et matrice de transition stochastique
• Distribution probabiliste à l'étape n
• Calcul explicite de l'état probabiliste par puissance de matrice
• Recherche et caractérisation de l'état stable
• Théorème de convergence pour les graphes probabilistes réguliers
• Étude complète d'une chaîne de Markov à deux états
• Modélisation de marches aléatoires et de processus stochastiques
• Graphes, matrice de transition et états probabilistes
• État stable et convergence à long terme
• Bilan : Synthèse et méthode sur Graphes probabilistes et chaînes de Markov