Décomposition en série de Fourier : fondamental et harmoniques de rang supérieur

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À retenir

• s(t) = a_0 + c_1 (_1 t + _1) + c_2 (2_1 t + _2) + • Fondamental : fréquence f_1 identique au signal d'origine. • Harmonique de rang n : fréquence f_n = n f_1. • Signal carré/créneau alternatif : harmoniques impairs uniquement (n = 1, 3, 5, ).

Le cours

Théorème de Fourier Tout signal périodique régulier s(t) de fréquence f_1 (pulsation _1 = 2 f_1) se décompose en une somme unique de sinusoïdes simples : Forme canonique de la série de Fourier : s(t) = a_0 + _n=1^+ c_n (n_1 t + _n) Composante continue (a_0) : valeur moyenne du signal s . Fondamental (n = 1) : sinusoïde de même fréquence f_1 et même période T_1 que le signal global. Harmoniques de rang n 2 : sinusoïdes de fréquences multiples entiers f_n = n f_1. Symétries remarquables : Fonction paire (s(-t) = s(t)) : ne contient que des termes en cosinus (_n = 0 ou ). Fonction impaire (s(-t) = -s(t)) : valeur moyenne nulle et termes en sinus. Symétrie de glissement (s(t + T/2) = -s(t)) : seuls les harmoniques impairs (n = 1, 3, 5, ) sont présents. Signification en analyse physique Le timbre d'un son instrumental ou la signature spectrale d'une vibration mécanique est déterminé par la proportion relative des harmoniques.

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