Inéquations dans un repère cartésien de classe de 3e

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Une inéquation à deux inconnues décrit une partie du plan : un demi-plan, pas un nombre. • ax + by = c est une droite frontière ; ax + by c est le demi-plan qui contient un point testé. • Méthode : deux points de la frontière, tracé, test d'un point simple, choix du demi-plan. • Le couple d'un point s'écrit (x\,;\,y) : abscisse d'abord, ordonnée ensuite.

Le cours

1. Une inéquation ne donne pas un nombre, elle donne une partie du plan Résoudre une inéquation à deux inconnues, c'est décrire un ensemble de points : tous les couples (x\,;\,y) qui vérifient l'inégalité. Cet ensemble de points s'appelle l'ensemble des solutions de l'inéquation : on le représente en coloriant (ou en hachurant) une partie du plan. • La droite d'équation ax + by = c (avec a et b non tous les deux nuls) est la frontière ; l'ensemble des solutions de ax + by c est un demi-plan : tous les points situés d'un même côté de cette droite, frontière comprise. • ax + by c et ax + by c ont la même frontière et décrivent les deux côtés opposés. Avec une inégalité stricte (), la frontière est exclue : on la trace en pointillés. Inéquation du contexte atelierPoint testéCalculPartie du plan décrite 2x + 3y 120 (heures de machine)(0\,;\,0)0 120 : vraidemi-plan du côté de l'origine 4x + y 100 (matière première)(0\,;\,0)0 100 : vraidemi-plan du côté de l'origine x 30 (débouché du produit A)(0\,;\,0)0 30 : vraidemi-plan à gauche de la verticale 2. Résoudre graphiquement : la méthode en quatre gestes La procédure est la même pour toutes les inéquations, et elle ne demande aucun calcul compliqué : deux points, une droite, un test, un côté. • 1. Calculer deux points de la frontière : prendre x = 0 pour lire l'ordonnée à l'origine, puis y = 0 pour lire l'abscisse à l'origine. • 2. Tracer la droite passant par ces deux points. • 3. Tester un point qui n'est pas sur la droite, en général (0\,;\,0). • 4. Hachurer le demi-plan qui contient ce point, du bon côté de la frontière. 3. Trois confusions qui font perdre des points Les erreurs suivantes ne sont pas des fautes de tracé mais de lecture : elles changent tout le reste du problème, puisque tout le régionnement du plan en dépend. • Confondre abscisse et ordonnée : x se lit sur l'axe horizontal, y sur l'axe vertical, et le couple s'écrit toujours (x\,;\,y). • Oublier l'étape du test : sans point testé, rien ne dit quel côté de la frontière est décrit par . • Lire une inégalité comme une égalité : 2x + 3y = 120 ne décrit que les points de la droite frontière, comme (30\,;\,20), alors que 2x + 3y 120 décrit tout un demi-plan, qui contient aussi (10\,;\,10) puisque 2 10 + 3 10 = 50 120.

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