Sensibilité de la solution à une variation des coefficients

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Le seuil critique est la valeur de coefficient pour laquelle deux sommets donnent la même valeur de z. • La valeur marginale d'une ressource est le gain obtenu avec une unité supplémentaire de cette ressource. • Une contrainte non saturée au sommet optimal a une valeur marginale nulle : en augmenter la capacité ne rapporte rien. • L'optimum reste le même tant que les coefficients restent entre les deux seuils critiques calculés.

Le cours

1. Deux questions, une seule méthode La sensibilité répond à deux questions de gestion : à partir de quelle valeur la recommandation change-t-elle, et que gagne l'atelier avec une unité de ressource supplémentaire ? Les deux se traitent en comparant les valeurs de l'objectif aux sommets, ou en examinant les pentes des droites de niveau. • Seuil critique : au-delà de quelle valeur d'un coefficient l'optimum change de sommet ? • Valeur marginale : que vaut une unité supplémentaire de la ressource qui est saturée au sommet optimal ? Marge du produit A cz(O)z(A)z(C) = 18c+224z(D)Optimum c = 50125314320D c = 16/3 5,330 133320320C et D c = 60150332320C 2. Le seuil critique se calcule en une égalité Deux sommets successifs deviennent optimaux au moment où leurs valeurs de z sont égales : c'est une simple équation. Dans notre exemple, le basculement de D vers C a lieu quand 18c + 224 = 320. En dessous de ce seuil, D gagne ; au-dessus, C gagne ; au seuil exact, tout le segment entre les deux est optimal. • Résoudre en c : on obtient c = 96/18 = 16/3 5,33\ €. • Second seuil : C cède la place à A = (25\,;\,0) quand 25c = 18c + 224, soit c = 32\ €. 3. Pièges d'interprétation La sensibilité se lit sur les coefficients que l'on a modifiés. Changer de contrainte et changer d'objectif ne se traitent pas de la même manière, et confondre les deux conduit à des affirmations fausses. • Croire que toute ressource supplémentaire augmente la marge : avec 60 unités de matière de plus, rien ne change, car la matière n'est pas saturée en D (40 unités sur 100). • Donner un seul seuil : quand une marge augmente, l'optimum peut changer plusieurs fois de sommet (D, puis C, puis A).

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