Contrainte de positivité des variables et polygone réalisable

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• La positivité x 0, y 0 restreint la région au premier quadrant ; avec des capacités qui bornent x et y, la région devient un polygone. • Un polygone réalisable est décrit complètement par le tableau de ses sommets et de ses frontières actives. • Une contrainte est saturée en un sommet si elle y est vérifiée avec égalité. • Les solutions entières doivent rester à l'intérieur du polygone : on arrondit vers l'intérieur.

Le cours

1. Pourquoi la positivité change tout Les variables d'un problème de production sont des quantités : elles ne peuvent pas être négatives. Les deux inéquations x 0 et y 0 découpent le plan en quatre quadrants et ne retiennent que le premier quadrant. Sans elles, la région 2x + 3y 120 s'étire à l'infini, et une marge comme 5x + 8y n'aurait plus de maximum : sur la frontière, le point (-60\,;\,80) donnerait déjà -300 + 640 = 340, davantage que le meilleur programme réel. • x 0 : l'atelier ne produit pas un nombre négatif de lots de A. • y 0 : l'atelier ne produit pas un nombre négatif de lots de B. • Les deux axes deviennent des frontières actives : les sommets qui les portent sont aussi importants que les autres. • Quand toutes les autres contraintes sont des capacités ( avec un membre de droite positif), l'origine est un sommet de la région : x = 0 et y = 0 y sont atteintes simultanément. 2. Le polygone réalisable, décrit par un tableau de sommets Le polygone réalisable est l'ensemble des points qui vérifient toutes les contraintes, positivité comprise. Le tableau de ses sommets suffit à le décrire entièrement : chaque sommet indique les deux frontières qui y sont atteintes. cases 2x + 3y 120 \\ 4x + y 100 \\ x 30 \\ x 0 \\ y 0 cases SommetCoordonnéesContraintes atteintes (égalité)Contraintes vérifiées sans égalité O(0\,;\,0)x = 0 et y = 00 120, 0 100, 0 30 A(25\,;\,0)y = 0 et 4x + y = 10050 120, 25 30 C(18\,;\,28)2x+3y=120 et 4x+y=10018 30 D(0\,;\,40)x = 0 et 2x + 3y = 12040 100 3. Pièges de lecture du polygone Le polygone réalisable ne dépend que des contraintes, jamais de l'objectif. Une contrainte est dite saturée en un point lorsqu'elle y est vérifiée avec égalité : c'est un fil conducteur utile pour comprendre la suite du chapitre. • Croire que x 30 est active en A = (25\,;\,0) : elle ne l'est pas, 25 • Oublier que l'origine est un sommet : certains problèmes ont un optimum trivial en (0\,;\,0). • Confondre région réalisable et solution optimale : la région contient une infinité de programmes, alors que l'optimum n'est le plus souvent qu'un seul de ses sommets.

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