Contraintes d'un problème de production : mise en inéquation

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Une contrainte = un coefficient par variable + un membre de droite = la capacité + un signe ou . • Le système complet comporte une inégalité par ressource, plus x 0 et y 0. • Les deux dernières inéquations sont aussi importantes que les autres : sans elles, la région est infinie. • Variables entières : on cherche des nombres entiers de lots, ce qui n'interviendra qu'à la vérification finale.

Le cours

1. Du texte à l'inéquation : ce qu'il faut chercher dans l'énoncé Un problème de production se traduit par un système d'inéquations : une inégalité par ressource utilisée, plus les deux inéquations de positivité. Chaque phrase de l'énoncé contient un coefficient, une variable et une capacité : il suffit de les séparer. • Quelle variable ? On pose x = nombre de lots du produit A et y = nombre de lots du produit B. • Quel coefficient ? La consommation d'un seul lot de ce produit : 2 heures pour A, 3 heures pour B. • Quel membre de droite ? La capacité totale de l'atelier, ici 120 heures. • Quel signe ? Une capacité est un maximum, donc ; une quantité de lots ne peut pas être négative, donc 0. Ressource ou conditionCe que dit l'énoncéInéquationUnité Heures de machine2 heures par lot de A, 3 heures par lot de B, 120 heures disponibles2x + 3y 120heures Matière première4 unités par lot de A, 1 unité par lot de B, 100 unités disponibles4x + y 100unités Débouché du produit Aau plus 30 lots de A vendus sur la périodex 30lots Quantités de productionon ne produit pas un nombre négatif de lotsx 0 et y 0lots 2. Le système complet et la notation de l'accolade Le programme de production s'écrit d'un seul tenant, sous la forme d'un système où chaque inégalité est une ligne de l'accolade. Ce système est l'objet que l'on étudiera pendant tout le chapitre. cases 2x + 3y 120 \\ 4x + y 100 \\ x 30 \\ x 0 \\ y 0 cases • Un programme (x\,;\,y) est réalisable s'il vérifie toutes les lignes du système. • Mini-exemple : (10\,;\,20) donne 2 10 + 3 20 = 80 120, 4 10 + 20 = 60 100 et 10 30 : il est réalisable. • Contre-exemple : (25\,;\,10) donne 4 25 + 10 = 110 > 100 : la matière manque, il n'est pas réalisable. 3. Les erreurs de traduction qui faussent tout • Inverser les coefficients : si x désigne les lots de A, alors le 2 appartient bien à x et le 3 à y. • Oublier la contrainte de marché : sans x 30, le modèle autorise des ventes impossibles. • Se tromper de sens : « au moins 10 lots de B » se traduit par y 10, pas par y 10 ; « au plus » donne .

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