Gradient d'un objectif et sens de déplacement de l'optimum

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Le gradient de z = cx + dy est le vecteur g(c\,;\,d) : il se lit dans les coefficients. • g est perpendiculaire aux droites de niveau, dont la pente vaut -c/d (pour d 0). • Maximiser : se déplacer dans le sens de g ; minimiser : dans le sens opposé. • Le sommet optimal est celui où la pente -c/d est comprise entre les pentes des deux côtés qui s'y rejoignent.

Le cours

1. Le vecteur gradient se lit dans les coefficients Pour un objectif linéaire z = cx + dy, on appelle gradient le vecteur g(c\,;\,d) formé par ses coefficients. Il indique la direction dans laquelle déplacer un programme pour que z augmente le plus vite. Il se lit directement dans la formule de l'objectif, sans aucun calcul. • z = 5x + 8y a pour gradient g(5\,;\,8) : passer de (0\,;\,0) à (5\,;\,8) fait gagner 5 5 + 8 8 = 89 sur z. • g est perpendiculaire aux droites de niveau 5x + 8y = k : leur pente vaut -5/8, celle de la direction de g vaut 8/5, et -5/8 8/5 = -1. • Se déplacer le long d'une droite de niveau ne change pas z ; se déplacer dans le sens de g l'augmente ; dans le sens opposé, on le diminue. Frontière ou objectifÉquationGradient associéPente de la droite Contrainte de machine2x + 3y = 120(2\,;\,3)-2/3 -0,67 Contrainte de matière4x + y = 100(4\,;\,1)-4 Contrainte de marchéx = 30(1\,;\,0)verticale Objectif de marge5x + 8y = k(5\,;\,8)-5/8 = -0,625 2. Sens de déplacement et sommet optimal Pour maximiser z, on pousse la droite de niveau dans le sens de g jusqu'au dernier contact avec le polygone. On localise ce contact en comparant la pente -c/d des droites de niveau aux pentes des côtés du polygone. • Si la pente des droites de niveau est comprise entre les pentes de deux côtés consécutifs, le sommet commun à ces deux côtés est optimal. • Pour z = 5x + 8y : la pente -0,625 est moins raide que celle du côté [CD] (-2/3 -0,67), donc le dernier contact se fait en D = (0\,;\,40). • Vérification par le déplacement : sur le côté [DC], y = 40 - 2/3x, donc z = 5x + 8(40 - 2/3x) = 320 - x/3 : quitter D fait baisser z. 3. Pièges de direction La direction du gradient se confond vite avec celle de la droite de niveau : une erreur de signe change tout le sens de déplacement et conduit à un mauvais sommet. • Se déplacer le long de la droite de niveau : z y reste constant, on n'améliore rien. • Suivre le sens opposé à g : c'est la bonne direction pour minimiser un coût, pas pour maximiser une marge.

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