Système de deux inéquations et représentation graphique de classe de Seconde

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• L'ensemble des solutions d'un système de deux inéquations est l'intersection des deux demi-plans solutions. • Frontières sécantes : un secteur angulaire dont le sommet est le point d'intersection des frontières. • Frontières parallèles : une bande, un demi-plan ou l'ensemble vide. • Le point d'intersection se calcule en résolvant le système des deux équations de frontière.

Le cours

1. Un système, c'est l'intersection de deux demi-plans Résoudre graphiquement un système de deux inéquations, c'est trouver les points qui vérifient les deux inéquations à la fois. On représente chaque demi-plan solution ; la partie commune aux deux est l'ensemble des solutions du système. Sa forme dépend de la position des deux droites frontières. • Frontières sécantes : la partie commune est un secteur angulaire, limité par deux demi-droites issues du point d'intersection des frontières. Elle s'étend à l'infini. • Frontières parallèles : la partie commune est une bande entre les deux droites, l'un des deux demi-plans, ou l'ensemble vide quand les deux demi-plans « se tournent le dos ». • Avec deux inéquations seulement, la région n'est jamais fermée : il faut au moins trois frontières pour enfermer un triangle. 2. Méthode de résolution graphique On traite les inéquations une par une, puis on superpose les résultats. • 1. Tracer chaque frontière à l'aide de deux points (souvent x = 0 puis y = 0). • 2. Pour chaque inéquation, tester un point hors de la frontière, en général (0\,;\,0), et repérer le bon côté. • 3. Colorier la partie commune aux deux demi-plans : c'est l'ensemble des solutions. • 4. Si les frontières sont sécantes, calculer leur point d'intersection en résolvant le système des deux équations, par substitution ou par combinaison. SystèmePosition des frontièresEnsemble des solutions x + y 6 et x - y 2sécantes en (4\,;\,2)secteur de sommet (4\,;\,2) contenant l'origine y 3 et y -1parallèles (horizontales)bande horizontale comprise entre les deux droites x + 2y 4 et x + 2y 8parallèlesvide : aucun nombre n'est à la fois 4 et 8 3. Attention aux systèmes de plus de deux inéquations Le point d'intersection de deux frontières appartient toujours aux deux demi-plans correspondants, puisqu'il est sur les deux droites. Mais dès que le système compte une troisième inéquation, ce point doit être testé dans toutes les autres. • Exemple : 2x + 3y = 120 et x = 30 se coupent en (30\,;\,20), mais ce point viole 4x + y 100 puisque 4 30 + 20 = 140 > 100. • Une inégalité stricte exclut sa frontière : un point d'intersection de frontières tracées en pointillés n'est pas une solution.

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