Régionnement du plan : intersection de deux demi-plans

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Un sommet est l'intersection de deux frontières actives, qui vérifie en plus toutes les inéquations. • Le tableau des sommets est la description complète du polygone : coordonnées, frontières actives, contrôles. • Un polygone borné issu d'un système d'inéquations est toujours convexe. • Deux sommets consécutifs ont une frontière en commun : c'est ce qui fixe l'ordre de parcours O, A, C, D.

Le cours

1. Croiser deux frontières : calcul d'un candidat sommet Le point d'intersection de deux droites a_1x + b_1y = c_1 et a_2x + b_2y = c_2 s'obtient en résolvant le système correspondant. Si le nombre a_1b_2 - a_2b_1 n'est pas nul, les droites se coupent en un point unique : c'est un candidat sommet. • 1. Écrire les deux équations de frontière côte à côte. • 2. Exprimer une inconnue en fonction de l'autre, par exemple y = 100 - 4x, et la remplacer dans l'autre équation. • 3. Résoudre l'équation obtenue en une seule inconnue, puis revenir à l'expression substituée. Enfin, tester le point obtenu dans toutes les inéquations du système. Frontières croiséesÉquation résoluePoint obtenuStatut 2x+3y=120 et 4x+y=1002x + 3(100-4x) = 120 x = 18C = (18\,;\,28)sommet retenu : 120 et 100 atteints 4x+y=100 et y=04x = 100 x = 25A = (25\,;\,0)sommet retenu : matière exactement épuisée 2x+3y=120 et y=02x = 120 x = 60E = (60\,;\,0)rejeté : 4 60 = 240 > 100 2x+3y=120 et x=03y = 120 y = 40D = (0\,;\,40)sommet retenu : 4 0 + 40 = 40 100 4x+y=100 et x=0y = 100(0\,;\,100)rejeté : 3 100 = 300 > 120 2. Le polygone réalisable et ses quatre sommets Une fois les croisements calculés et vérifiés, la région réalisable est le polygone formé par les points retenus. Le tableau des sommets décrit complètement le polygone : avec lui, le tracé se fait sans hésitation. • 1. Partir de l'origine O = (0\,;\,0), qui satisfait toujours les contraintes de positivité. • 2. Suivre l'axe des abscisses jusqu'au premier rejet : A = (25\,;\,0). • 3. Remonter la frontière de matière jusqu'à son croisement avec la frontière de machine : C = (18\,;\,28). • 4. Suivre la frontière de machine jusqu'à l'axe des ordonnées : D = (0\,;\,40), puis redescendre l'axe jusqu'à O. 3. Un polygone se parcourt dans un ordre précis Donner les sommets dans le désordre produit une figure croisée, illisible et source d'erreur. On parcourt le bord en passant d'un sommet à son voisin : deux sommets consécutifs ont toujours une frontière en commun. Ici l'ordre est O, A, C, D, puis retour en O ; ce n'est pas l'ordre des abscisses, puisque C (abscisse 18) vient après A (abscisse 25). • 1. Le polygone d'un système d'inéquations est toujours convexe : il ne contient aucun creux.

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