Régionnement en trois variables : report dans un plan de calcul

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Trois variables : un programme est un triplet (x\,;\,y\,;\,w), et un sommet a trois contraintes atteintes simultanément. • On se ramène au plan en fixant une variable : c'est la section, ou report dans un plan de calcul. • Fixer w = t diminue les membres de droite : 150 - t heures et 100 - 2t unités de matière. • La méthode des sommets reste valable : l'optimum est atteint en un sommet de l'ensemble réalisable.

Le cours

1. De deux variables à trois variables Avec trois produits, un programme est un triplet (x\,;\,y\,;\,w) : l'ensemble des programmes réalisables n'est plus une partie du plan, on ne peut plus le dessiner sur une feuille. Ses sommets sont les programmes où trois contraintes sont atteintes simultanément ; on les calcule au lieu de les lire sur un graphique. • Deux variables : on croise deux frontières à la fois pour obtenir un sommet. • Trois variables : il faut croiser trois frontières à la fois pour obtenir un sommet. 2. Le report dans un plan de calcul : la section La méthode consiste à fixer la troisième variable à une valeur w = t, puis à résoudre le problème à deux variables qui reste. Chaque valeur de t donne un polygone dans le plan (x\,;\,y), que l'on sait traiter comme au chapitre : c'est le report dans un plan de calcul. • 1. Écrire le tableau des coefficients : une ligne par contrainte, une colonne par variable. • 2. Fixer w = t et diminuer les membres de droite : heures 150 - t, matière 100 - 2t. Par exemple, avec w = 6, il reste 144 heures et 88 unités de matière. • 3. Traiter le problème à deux variables obtenu : sommets du polygone, valeurs de l'objectif. • 4. Ajouter la part de l'objectif due à w, puis comparer plusieurs valeurs de t : la meilleure n'est pas connue d'avance. ContrainteRessource consomméexywMembre de droite Heures de machine2x + 3y + 1w231150 Matière première4x + y + 2w412100 Débouché de Ax10030 Positivitéx, y, w———0 3. Pièges du passage à trois variables Les erreurs les plus coûteuses ne sont pas des calculs faux mais des contraintes oubliées, dont on ne s'aperçoit qu'à la dernière étape. • Réduire le membre de droite du mauvais côté : fixer w = t consomme bien t heures et 2t unités de matière, on les soustrait. • Oublier la part de w dans l'objectif : la marge totale est la marge de la section en (x\,;\,y) plus celle des t lots de C.

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