Système d'inéquations et ensemble de solutions borné

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Un système décrit une région bornée, non bornée ou vide. • Avec x 0 et y 0, la région est bornée dès que les autres contraintes bornent x et y par le haut. • Deux demi-plans ne suffisent jamais à borner une région : il faut au moins trois frontières de directions différentes. • Sur une région bornée et non vide, un objectif linéaire atteint toujours son maximum et son minimum.

Le cours

1. Trois issues possibles pour un système Un système d'inéquations à deux inconnues décrit un ensemble de points de l'un des trois types suivants. Le type se diagnostique en cherchant s'il existe une direction dans laquelle on peut s'éloigner indéfiniment sans violer aucune contrainte. • Borné : la région est enfermée dans un polygone convexe à sommets calculables (cas extrêmes : un segment ou un seul point). • Non borné : on peut s'éloigner indéfiniment dans au moins une direction. La région peut pourtant avoir des sommets : x 0, y 0 a pour sommet l'origine. • Vide : les contraintes sont incompatibles, aucun point ne les vérifie toutes ; le problème n'a pas de solution. Système d'inéquationsType d'ensembleSommets ou description 2x+3y 120, x 0, y 0borné : triangleO, (60\,;\,0), (0\,;\,40) 2x+3y 120, 4x+y 100, x 0, y 0borné : quadrilatèreO, (25\,;\,0), (18\,;\,28), (0\,;\,40) 2x+3y 120, x 0non bornésecteur illimité vers le bas : (0\,;\,-1\,000) convient, car -3\,000 120 2x+3y 120, 2x+3y 130videil faudrait 130 2x+3y 120, impossible 2. Le test de bornitude en quatre questions Avant de chercher le moindre sommet, on vérifie que la région est non vide et bornée : un objectif linéaire y atteint alors à coup sûr un maximum et un minimum. Quatre questions suffisent. • 1. La positivité est-elle écrite ? Sans x 0 et y 0, la région peut filer vers les coordonnées négatives. • 2. Une contrainte borne-t-elle x par le haut ? Par exemple 4x + y 100 avec y 0 donne x 25. • 3. Une contrainte borne-t-elle y par le haut ? Par exemple 2x + 3y 120 avec x 0 donne y 40. • 4. Existe-t-il au moins un point qui vérifie toutes les contraintes (l'origine, un sommet) ? Sinon la région est vide et il n'y a rien à optimiser. 3. Les pièges du diagnostic L'erreur classique est de conclure « borné » parce que le dessin semble fermé : c'est l'existence d'une borne pour chaque variable qui compte, pas l'impression visuelle d'une figure tronquée par le cadre. • Conclure à l'existence d'un maximum sans avoir vérifié la bornitude : avec seulement x 0, y 0 et y 40, la marge 5x + 8y peut dépasser n'importe quelle valeur en augmentant x. • Croire qu'une région non bornée n'a jamais d'optimum : sur le premier quadrant, le coût 12x + 9y a bien un minimum, 0, atteint à l'origine.

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