Vérification de l'optimum par les coûts réduits

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• La valeur marginale d'une ressource est le gain procuré par une unité supplémentaire ; elle vaut 0 si la ressource n'est pas saturée. • Au sommet D = (0\,;\,40), une heure de machine vaut 8/3\ € : elle permet 1/3 de lot de B en plus. • Coût réduit d'un produit = marge unitaire − valeur des ressources qu'il consomme. • En maximisation, un programme est optimal quand aucun produit n'a un coût réduit strictement positif.

Le cours

1. Donner un prix à chaque ressource Au programme optimal D = (0\,;\,40) de l'atelier, seule la machine est saturée. Une heure de machine supplémentaire permet de fabriquer 1/3 de lot de B en plus, soit 8 1/3 = 8/3 2,67\ € de marge : c'est la valeur marginale de l'heure de machine. La matière, utilisée à 40 unités sur 100, a une valeur marginale nulle. • Valeur marginale d'une ressource : gain de marge procuré par une unité supplémentaire de cette ressource ; elle est nulle si la ressource n'est pas saturée. • Coût réduit d'un produit : sa marge unitaire, diminuée de la valeur des ressources qu'il consomme, comptées à leur valeur marginale. 2. Le test d'optimalité par les coûts réduits Au programme D, on calcule le coût réduit de chaque produit, y compris de ceux qui ne sont pas fabriqués. Pour le produit A, qui consomme 2 heures et 4 unités de matière : 5 - 2 8/3 - 4 0 = -1/3 • Coût réduit nul : la marge du produit paie exactement les ressources qu'il consomme ; c'est le cas de B, fabriqué à l'optimum. • Coût réduit négatif : fabriquer ce produit ferait perdre de la marge ; chaque lot de A coûterait 1/3\ €. • Coût réduit positif : en maximisation, le programme peut encore être amélioré en fabriquant ce produit ; il n'est donc pas optimal. VariableMarge unitaireHeures par lotMatière par lotCoût réduit Produit A (x)5\ €245 - 8/3 2 = -1/3 Produit B (y)8\ €318 - 8/3 3 = 0 Produit C (w)4\ €124 - 8/3 1 = 4/3 3. Ce que le test ne dit pas Le coût réduit mesure l'effet des premiers lots d'un produit, pas le gain final : dès qu'on le fabrique en quantité, une autre ressource peut devenir saturée, et il faut recalculer les sommets. • Un coût réduit positif annonce qu'un meilleur programme existe ; il ne donne pas à lui seul ce programme. • Ne pas confondre marge brute et coût réduit : A rapporte 5\ € par lot, mais prend des heures à B, plus rentable par heure ; son coût réduit est négatif.

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