Construction d'un triangle connaissant les longueurs des trois côtés de 5ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Un triangle n'est constructible que si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres (c < a + b). • Le tracé s'effectue toujours au compas à partir du tracé du premier côté à la règle. • Le point d'intersection des deux arcs de cercle définit le troisième sommet du triangle.

Le cours

1. Condition d'existence et inégalité triangulaire Pour pouvoir construire un triangle dont on connaît les trois longueurs, il est indispensable que la plus grande longueur soit strictement inférieure à la somme des deux autres longueurs. C'est l'inégalité triangulaire vue en classe de 5ème. Si a b c, le triangle existe si et seulement si c Si c = a + b, les trois points sont alignés et le triangle est dit aplati. Si c > a + b, les arcs de cercle ne se coupent pas : la construction est impossible. 2. Méthode de tracé rigoureuse au compas et à la règle graduée Pour construire un triangle ABC tel que AB = 7\ cm, AC = 5\ cm et BC = 4\ cm : 1. Tracer à la règle graduée le plus long côté comme base, ici le segment [AB] de longueur 7\ cm. 2. Ouvrir le compas à un écartement de 5\ cm, placer la pointe sèche en A et tracer un premier arc de cercle au-dessus du segment. 3. Ouvrir le compas à un écartement de 4\ cm, placer la pointe sèche en B et tracer un second arc coupant le premier. 4. Nommer C le point d'intersection des deux arcs de cercle, puis tracer à la règle les segments [AC] et [BC]. Cette méthode garantit le respect exact des trois longueurs sans déformation d'angle. 3. Erreur fréquente Tenter de construire le troisième sommet uniquement avec une règle graduée en faisant pivoter la règle à l'œil est imprécis et faux. Seul le compas permet de reporter avec certitude l'ensemble des points situés à la distance demandée d'un sommet.

Dans ce chapitre

• Carrés parfaits et calculs de sommes de carrés de 5ème
• Construction d'un triangle connaissant les longueurs des trois côtés de 5ème
• Propriétés du rectangle et présence d'angles droits de 5ème
• Énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore
• Rédaction rigoureuse en deux calculs séparés du plus grand côté et des deux autres
• Démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque
• Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec l'égalité non vérifiée
• Synthèse : choisir entre théorème direct, réciproque et égalité non vérifiée
• Triangle rectangle et cercle circonscrit : centre au milieu de l'hypoténuse — 4ème
• Médiane issue de l'angle droit et calcul de longueurs dans un triangle rectangle — 4ème
• Triplets pythagoriciens et reconnaissance de triangles rectangles entiers — 4ème
• Démontrer l'orthogonalité et la nature d'un quadrilatère avec la réciproque de Pythagore — 4ème
• Contrôle d'angle droit en situation concrète : méthode du triangle 3-4-5 — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la réciproque et la contraposée de Pythagore