Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec l'égalité non vérifiée

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Résultats différents → le triangle N'EST PAS rectangle. • Écrire le symbole entre les deux membres. • La réciproque ne sert pas à prouver qu'il n'est pas rectangle.

Le cours

Notion 4ème • Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle Utiliser l'égalité non vérifiée (contraposée de Pythagore) pour prouver l'absence d'angle droit. Ce qu'il faut savoir •Si, après calculs séparés, le carré du plus grand côté n'est PAS égal à la somme des deux autres carrés : Grand côté^2 Côté_1^2 + Côté_2^2. •Alors le triangle N'EST PAS RECTANGLE. •Vocabulaire officiel : cette propriété est la contraposée du théorème de Pythagore (au collège, on peut écrire : 'Puisque l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle'). •Même une infime différence (par exemple 100 contre 100,1) prouve que le triangle n'est pas rectangle. Méthode pas à pas Étape 1 :Calculer séparément le carré du plus grand côté. Étape 2 :Calculer séparément la somme des carrés des deux autres. Étape 3 :Constater que les deux résultats sont DIFFÉRENTS (noter le symbole ). Étape 4 :Conclure : 'Puisque l'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle'. Réciproque et contraposée côte à côte •Réciproque : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté. Exemple : côtés 6, 8, 10 ; 10^2 = 100 et 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 : le triangle est rectangle. •Contraposée : si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle. Exemple : côtés 4, 5, 7 ; 7^2 = 49 et 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 ; 49 41 : le triangle n'est pas rectangle. •Règle de rédaction : on calcule les deux membres séparément et on n'écrit le signe = ou le signe entre eux qu'après avoir obtenu les deux résultats. ⚠️ Piège à éviter Dire que c'est 'd'après la réciproque' que le triangle n'est pas rectangle ! La réciproque prouve UNIQUEMENT qu'un triangle EST rectangle. 💡 L'astuce du prof Formulation sécurisée : 'L'égalité de Pythagore n'est pas vérifiée, donc le triangle n'est pas rectangle'.

Dans ce chapitre

• Carrés parfaits et calculs de sommes de carrés de 5ème
• Construction d'un triangle connaissant les longueurs des trois côtés de 5ème
• Propriétés du rectangle et présence d'angles droits de 5ème
• Énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore
• Rédaction rigoureuse en deux calculs séparés du plus grand côté et des deux autres
• Démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque
• Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec l'égalité non vérifiée
• Synthèse : choisir entre théorème direct, réciproque et égalité non vérifiée
• Triangle rectangle et cercle circonscrit : centre au milieu de l'hypoténuse — 4ème
• Médiane issue de l'angle droit et calcul de longueurs dans un triangle rectangle — 4ème
• Triplets pythagoriciens et reconnaissance de triangles rectangles entiers — 4ème
• Démontrer l'orthogonalité et la nature d'un quadrilatère avec la réciproque de Pythagore — 4ème
• Contrôle d'angle droit en situation concrète : méthode du triangle 3-4-5 — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la réciproque et la contraposée de Pythagore