Médiane issue de l'angle droit et calcul de longueurs dans un triangle rectangle — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse (AM = BC / 2). • Réciproquement, si une médiane mesure la moitié du côté qu'elle coupe, le triangle est rectangle. • La médiane relative à l'hypoténuse partage le triangle rectangle en deux triangles isocèles.

Le cours

1. Propriété de la médiane relative à l'hypoténuse Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l'angle droit possède une propriété métrique unique : sa longueur est exactement égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Si un triangle ABC est rectangle en A, et si M est le milieu de [BC] : AM = BC/2 = BM = MC Cette égalité découle directement du fait que M est le centre du cercle circonscrit et que les segments [MA], [MB] et [MC] sont tous trois des rayons de ce cercle. 2. Propriété réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle par la médiane On dispose ainsi d'un critère géométrique réciproque pour établir qu'un triangle est rectangle sans calculer la somme des carrés : Propriété réciproque : Si dans un triangle, la médiane issue d'un sommet a une longueur égale à la moitié du côté opposé, alors ce triangle est rectangle en ce sommet. Conséquence géométrique : la médiane partage le triangle rectangle en deux triangles isocèles (ABM isocèle en M et ACM isocèle en M), ce qui permet de calculer facilement des mesures d'angles. 3. Erreur fréquente Cette propriété remarquable n'est vraie que pour la médiane issue de l'angle droit. Les deux autres médianes (issues des angles aigus) n'ont pas une longueur égale à la moitié de leur côté opposé. Ne pas généraliser la formule aux trois médianes du triangle.

Dans ce chapitre

• Carrés parfaits et calculs de sommes de carrés de 5ème
• Construction d'un triangle connaissant les longueurs des trois côtés de 5ème
• Propriétés du rectangle et présence d'angles droits de 5ème
• Énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore
• Rédaction rigoureuse en deux calculs séparés du plus grand côté et des deux autres
• Démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque
• Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec l'égalité non vérifiée
• Synthèse : choisir entre théorème direct, réciproque et égalité non vérifiée
• Triangle rectangle et cercle circonscrit : centre au milieu de l'hypoténuse — 4ème
• Médiane issue de l'angle droit et calcul de longueurs dans un triangle rectangle — 4ème
• Triplets pythagoriciens et reconnaissance de triangles rectangles entiers — 4ème
• Démontrer l'orthogonalité et la nature d'un quadrilatère avec la réciproque de Pythagore — 4ème
• Contrôle d'angle droit en situation concrète : méthode du triangle 3-4-5 — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la réciproque et la contraposée de Pythagore