Triplets pythagoriciens et reconnaissance de triangles rectangles entiers — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Un triplet pythagoricien (a, b, c) est formé d'entiers vérifiant a^2 + b^2 = c^2. • Triplets fondamentaux à mémoriser : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). • Tout multiple (ka, kb, kc) forme également un triangle rectangle par agrandissement.

Le cours

1. Définition d'un triplet pythagoricien On appelle triplet pythagoricien un ensemble de trois nombres entiers naturels non nuls (a\,;\,b\,;\,c) vérifiant l'égalité de Pythagore a^2 + b^2 = c^2. Un tel triplet correspond aux longueurs exactes des trois côtés d'un triangle rectangle dont les mesures sont entières. Condition : a^2 + b^2 = c^2 avec a, b, c N^*. Le plus grand entier c représente la longueur de l'hypoténuse. 2. Les triplets fondamentaux et leurs multiples Certains triplets pythagoriciens reviennent très fréquemment dans les problèmes de géométrie et sont à connaître : • Le triplet fondamental (3\,;\,4\,;\,5) car 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. • Le triplet (5\,;\,12\,;\,13) car 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2. • Le triplet (8\,;\,15\,;\,17) car 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2. • Le triplet (7\,;\,24\,;\,25) car 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2. Propriété des multiples : Si (a\,;\,b\,;\,c) est un triplet pythagoricien, alors pour tout nombre entier ou décimal k > 0, le triplet (k a\,;\,k b\,;\,k c) forme également un triangle rectangle (par agrandissement ou réduction de rapport k). 3. Piège fréquent Identifier de tête un multiple d'un triplet (par exemple 6, 8, 10 comme double de 3, 4, 5) est excellent pour anticiper le résultat, mais dans une copie de contrôle, il est indispensable de rédiger les deux calculs de carrés séparés pour justifier rigoureusement avec la réciproque de Pythagore.

Dans ce chapitre

• Carrés parfaits et calculs de sommes de carrés de 5ème
• Construction d'un triangle connaissant les longueurs des trois côtés de 5ème
• Propriétés du rectangle et présence d'angles droits de 5ème
• Énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore
• Rédaction rigoureuse en deux calculs séparés du plus grand côté et des deux autres
• Démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque
• Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec l'égalité non vérifiée
• Synthèse : choisir entre théorème direct, réciproque et égalité non vérifiée
• Triangle rectangle et cercle circonscrit : centre au milieu de l'hypoténuse — 4ème
• Médiane issue de l'angle droit et calcul de longueurs dans un triangle rectangle — 4ème
• Triplets pythagoriciens et reconnaissance de triangles rectangles entiers — 4ème
• Démontrer l'orthogonalité et la nature d'un quadrilatère avec la réciproque de Pythagore — 4ème
• Contrôle d'angle droit en situation concrète : méthode du triangle 3-4-5 — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la réciproque et la contraposée de Pythagore