Triangle rectangle et cercle circonscrit : centre au milieu de l'hypoténuse — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Si un triangle est rectangle, son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse et son centre est le milieu de l'hypoténuse. • Réciproquement, tout triangle inscrit dans un cercle ayant un diamètre pour côté est un triangle rectangle. • L'angle droit est toujours opposé au diamètre.

Le cours

1. Propriété directe du cercle circonscrit au triangle rectangle Dans tout triangle rectangle, le cercle circonscrit possède une position remarquable : son centre est exactement le milieu de l'hypoténuse, et son diamètre est égal à la longueur de l'hypoténuse. Si un triangle ABC est rectangle en A, alors : Le centre du cercle circonscrit est le milieu O de l'hypoténuse [BC]. Le rayon du cercle vaut R = BC/2, et on a OA = OB = OC. 2. Propriété réciproque : reconnaître un triangle rectangle grâce au cercle Cette configuration fournit une méthode géométrique fondamentale pour démontrer qu'un triangle est rectangle sans utiliser de calculs de longueurs au carré : Théorème réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. Le sommet de l'angle droit est le sommet opposé à ce diamètre. Cette propriété permet notamment de tracer un angle droit ou de construire un triangle rectangle à l'aide d'un simple compas et d'une règle non graduée, sans équerre. 3. Erreur fréquente Pour appliquer la réciproque, il ne suffit pas que le côté soit une corde quelconque du cercle : il doit impérativement passer par le centre du cercle pour constituer un diamètre. Pensez à toujours citer que le côté est un diamètre du cercle circonscrit.

Dans ce chapitre

• Carrés parfaits et calculs de sommes de carrés de 5ème
• Construction d'un triangle connaissant les longueurs des trois côtés de 5ème
• Propriétés du rectangle et présence d'angles droits de 5ème
• Énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore
• Rédaction rigoureuse en deux calculs séparés du plus grand côté et des deux autres
• Démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque
• Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec l'égalité non vérifiée
• Synthèse : choisir entre théorème direct, réciproque et égalité non vérifiée
• Triangle rectangle et cercle circonscrit : centre au milieu de l'hypoténuse — 4ème
• Médiane issue de l'angle droit et calcul de longueurs dans un triangle rectangle — 4ème
• Triplets pythagoriciens et reconnaissance de triangles rectangles entiers — 4ème
• Démontrer l'orthogonalité et la nature d'un quadrilatère avec la réciproque de Pythagore — 4ème
• Contrôle d'angle droit en situation concrète : méthode du triangle 3-4-5 — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la réciproque et la contraposée de Pythagore