Démontrer l'orthogonalité et la nature d'un quadrilatère avec la réciproque de Pythagore — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Pour prouver qu'un parallélogramme est un rectangle, on applique la réciproque de Pythagore sur deux côtés et la diagonale. • Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle. • Dans une figure complexe, la réciproque de Pythagore permet d'établir la perpendicularité de deux droites.

Le cours

1. Démontrer qu'un parallélogramme est un rectangle Pour prouver qu'un parallélogramme est un rectangle, une méthode très fréquente consiste à démontrer qu'il possède au moins un angle droit. Lorsqu'on connaît les longueurs des deux côtés consécutifs et celle d'une diagonale, on applique la réciproque du théorème de Pythagore dans le demi-quadrilatère. 1. On considère le triangle formé par deux côtés adjacents et la diagonale. 2. Si la réciproque de Pythagore est vérifiée, ce triangle est rectangle. 3. Un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle. 2. Prouver la perpendicularité de deux droites sécantes Dans des figures géométriques complexes composées de plusieurs triangles (trapèzes, cerfs-volants, quadrilatères croisés), la réciproque de Pythagore permet de prouver que deux droites sont perpendiculaires même lorsqu'aucun angle droit n'est codé au départ : • Isoler le triangle dont les côtés sont portés par les droites à étudier. • Repérer le côté le plus long parmi les trois segments connus. • Calculer séparément le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés. • Si les deux résultats coïncident, conclure à la perpendicularité des deux droites. 3. Erreur fréquente Ne pas oublier de préciser que la figure de départ est un parallélogramme avant de conclure qu'elle devient un rectangle. Prouver qu'un triangle dans un quadrilatère est rectangle prouve uniquement qu'il y a un angle droit ; il faut impérativement la propriété du parallélogramme pour que la figure entière soit un rectangle.

Dans ce chapitre

• Carrés parfaits et calculs de sommes de carrés de 5ème
• Construction d'un triangle connaissant les longueurs des trois côtés de 5ème
• Propriétés du rectangle et présence d'angles droits de 5ème
• Énoncé de la réciproque du théorème de Pythagore
• Rédaction rigoureuse en deux calculs séparés du plus grand côté et des deux autres
• Démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque
• Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec l'égalité non vérifiée
• Synthèse : choisir entre théorème direct, réciproque et égalité non vérifiée
• Triangle rectangle et cercle circonscrit : centre au milieu de l'hypoténuse — 4ème
• Médiane issue de l'angle droit et calcul de longueurs dans un triangle rectangle — 4ème
• Triplets pythagoriciens et reconnaissance de triangles rectangles entiers — 4ème
• Démontrer l'orthogonalité et la nature d'un quadrilatère avec la réciproque de Pythagore — 4ème
• Contrôle d'angle droit en situation concrète : méthode du triangle 3-4-5 — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur la réciproque et la contraposée de Pythagore