Invariance du rapport du cosinus par agrandissement et réduction — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Le rapport côté adjacenthypoténuse est constant pour tous les triangles rectangles ayant le même angle aigu. • Le cosinus est un nombre sans unité qui ne dépend que de la mesure de l'angle. • Dans un agrandissement ou une réduction, les longueurs changent mais les angles et leurs cosinus restent inchangés.

Le cours

1. Découverte géométrique de l'invariance Considérons plusieurs triangles rectangles de tailles différentes ayant tous un même angle aigu . Si l'on mesure les longueurs de leur côté adjacent et de leur hypoténuse, on observe un résultat remarquable : le quotient côté adjacenthypoténuse reste rigoureusement identique pour tous ces triangles. Deux triangles rectangles ayant un même angle aigu sont de même forme. Tous leurs côtés homologues sont proportionnels (agrandissement ou réduction). Adjacent_1Hypoténuse_1 = Adjacent_2Hypoténuse_2 = () 2. Le cosinus ne dépend que de l'angle Cette propriété fondamentale montre que le cosinus n'est pas une mesure de longueur en centimètres ou en mètres : c'est un nombre pur sans unité qui caractérise l'inclinaison de l'angle lui-même. • Que le triangle mesure quelques millimètres sur un écran ou plusieurs kilomètres sur le terrain, (45^) ou (60^) conserve exactement la même valeur numérique. • Cette invariance est la base de toute la trigonométrie et permet d'utiliser des tables numériques ou la calculatrice pour n'importe quelle figure. 3. Erreur fréquente Ne pas confondre la proportionnalité des longueurs avec la proportionnalité des angles. Lorsque l'on double toutes les longueurs d'un triangle rectangle (agrandissement de rapport 2), les mesures des angles ne changent pas : elles restent strictement identiques, et la valeur du cosinus ne varie pas.

Dans ce chapitre

• Angles d'un triangle rectangle et angles complémentaires de 5ème
• Arrondi au dixième et au centième d'un quotient décimal de 5ème
• Résolution d'égalités de quotients de la forme a/b = c/d de 5ème
• Côté adjacent et hypoténuse dans un triangle rectangle
• Définition du cosinus d'un angle aigu comme rapport de longueurs
• Propriété du cosinus : valeur strictement comprise entre 0 et 1
• Calculer une longueur connaissant un angle et un côté
• Calculer la mesure d'un angle aigu connaissant deux longueurs
• Invariance du rapport du cosinus par agrandissement et réduction — 4ème
• Variation du cosinus d'un angle aigu et valeurs pour 30°, 45° et 60° — 4ème
• Résolution complète d'un triangle rectangle en combinant cosinus et Pythagore — 4ème
• Triangles rectangles emboîtés et calculs avec un angle aigu partagé — 4ème
• Problèmes concrets avec le cosinus : pentes, ombres et hauteur inaccessible — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le cosinus d'un angle aigu