Résolution complète d'un triangle rectangle en combinant cosinus et Pythagore — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Résoudre un triangle rectangle, c'est déterminer ses 3 longueurs et ses 3 angles. • Les deux angles aigus sont complémentaires : leur somme vaut toujours 90^. • On combine la formule du cosinus, la touche arccos et le théorème de Pythagore.

Le cours

1. Qu'appelle-t-on résoudre un triangle rectangle ? « Résoudre » un triangle rectangle consiste à déterminer les mesures exactes ou arrondies de tous ses côtés et de tous ses angles à partir des données minimales initiales (qui comportent toujours l'angle droit et deux autres informations : soit deux côtés, soit un côté et un angle aigu). Données de départ : Angle droit + 2 éléments connus. Objectif : Déterminer les 3 longueurs et les 3 angles du triangle. 2. Stratégies de résolution selon les données Selon les éléments fournis par l'énoncé, on combine les outils du cycle 4 : Cas 1 : Connaissant un angle aigu et un côté : 1. Calculer le second angle aigu grâce à la complémentarité : = 90^ - . 2. Calculer un deuxième côté à l'aide de la formule du cosinus. 3. Calculer le troisième côté restant avec le théorème de Pythagore (ou avec le cosinus du second angle). Cas 2 : Connaissant deux longueurs de côtés : 1. Calculer la troisième longueur immédiatement avec le théorème de Pythagore. 2. Calculer la mesure d'un angle aigu avec la touche ou ^-1. 3. Déduire le dernier angle par complémentarité à 90^. 3. Erreur fréquente Réutiliser une valeur arrondie pour effectuer le calcul suivant propage et amplifie les erreurs. Privilégiez toujours les données exactes de l'énoncé d'origine pour poser vos calculs ou conservez toutes les décimales dans la mémoire de la calculatrice.

Dans ce chapitre

• Angles d'un triangle rectangle et angles complémentaires de 5ème
• Arrondi au dixième et au centième d'un quotient décimal de 5ème
• Résolution d'égalités de quotients de la forme a/b = c/d de 5ème
• Côté adjacent et hypoténuse dans un triangle rectangle
• Définition du cosinus d'un angle aigu comme rapport de longueurs
• Propriété du cosinus : valeur strictement comprise entre 0 et 1
• Calculer une longueur connaissant un angle et un côté
• Calculer la mesure d'un angle aigu connaissant deux longueurs
• Invariance du rapport du cosinus par agrandissement et réduction — 4ème
• Variation du cosinus d'un angle aigu et valeurs pour 30°, 45° et 60° — 4ème
• Résolution complète d'un triangle rectangle en combinant cosinus et Pythagore — 4ème
• Triangles rectangles emboîtés et calculs avec un angle aigu partagé — 4ème
• Problèmes concrets avec le cosinus : pentes, ombres et hauteur inaccessible — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le cosinus d'un angle aigu