Variation du cosinus d'un angle aigu et valeurs pour 30°, 45° et 60° — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Quand la mesure de l'angle augmente de 0^ à 90^, son cosinus diminue de 1 à 0. • Valeur remarquable fondamentale : (60^) = 0,5 exactement. • Valeurs approchées usuelles : (30^) 0,87 et (45^) 0,71.

Le cours

1. Sens de variation du cosinus d'un angle aigu Lorsque la mesure d'un angle aigu varie entre 0^ et 90^ dans un triangle rectangle, le cosinus évolue de façon continue en sens inverse de l'angle : Quand l'angle augmente, son cosinus diminue. Pour un angle proche de 0^ : () est très proche de 1. Pour un angle proche de 90^ : () est très proche de 0. Si _1 (_2). 2. Valeurs remarquables à retenir : 30°, 45° et 60° Certains angles géométriques fondamentaux possèdent des valeurs de cosinus remarquables issues de figures géométriques parfaites : • Angle de 60^ (demi-triangle équilatéral) : le côté adjacent mesure exactement la moitié de l'hypoténuse, donc (60^) = 0,5 exactement. • Angle de 45^ (triangle rectangle isocèle) : le côté adjacent et le côté opposé sont égaux, (45^) = 22 0,707. • Angle de 30^ : (30^) = 32 0,866. La valeur (60^) = 0,5 est exigible et permet de vérifier immédiatement le réglage de la calculatrice en mode degrés. 3. Erreur fréquente Croire que le cosinus est proportionnel à l'angle est une erreur très fréquente : doubler un angle ne double pas son cosinus ! Par exemple, (30^) 0,866 alors que (60^) = 0,5 (la valeur diminue au lieu de doubler).

Dans ce chapitre

• Angles d'un triangle rectangle et angles complémentaires de 5ème
• Arrondi au dixième et au centième d'un quotient décimal de 5ème
• Résolution d'égalités de quotients de la forme a/b = c/d de 5ème
• Côté adjacent et hypoténuse dans un triangle rectangle
• Définition du cosinus d'un angle aigu comme rapport de longueurs
• Propriété du cosinus : valeur strictement comprise entre 0 et 1
• Calculer une longueur connaissant un angle et un côté
• Calculer la mesure d'un angle aigu connaissant deux longueurs
• Invariance du rapport du cosinus par agrandissement et réduction — 4ème
• Variation du cosinus d'un angle aigu et valeurs pour 30°, 45° et 60° — 4ème
• Résolution complète d'un triangle rectangle en combinant cosinus et Pythagore — 4ème
• Triangles rectangles emboîtés et calculs avec un angle aigu partagé — 4ème
• Problèmes concrets avec le cosinus : pentes, ombres et hauteur inaccessible — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le cosinus d'un angle aigu