Triangles rectangles emboîtés et calculs avec un angle aigu partagé — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Lorsque deux triangles rectangles partagent un même angle aigu, le cosinus de cet angle est identique. • On écrit deux expressions distinctes du cosinus pour créer une égalité de quotients. • Le produit en croix permet de calculer une longueur sans passer par la mesure de l'angle.

Le cours

1. Identifier un angle aigu commun à deux triangles rectangles Dans de nombreuses figures de géométrie (notamment avec la hauteur issue de l'angle droit ou deux droites perpendiculaires coupant les mêmes sécantes), deux triangles rectangles de dimensions différentes partagent exactement le même sommet et le même angle aigu. Angle partagé : A appartient à la fois au petit triangle et au grand triangle. Conséquence : la valeur du cosinus de cet angle est rigoureusement identique dans les deux triangles. 2. Méthode des deux expressions du cosinus Pour calculer une longueur inconnue sans même déterminer la mesure de l'angle en degrés, on applique la méthode suivante : 1. Exprimer () dans le premier triangle rectangle : () = Adjacent_1Hypoténuse_1. 2. Exprimer () dans le second triangle rectangle : () = Adjacent_2Hypoténuse_2. 3. Égaler les deux rapports obtenus : Adjacent_1Hypoténuse_1 = Adjacent_2Hypoténuse_2. 4. Résoudre l'égalité par un simple produit en croix pour déterminer la longueur cherchée. 3. Erreur fréquente Confondre les côtés adjacents et les hypoténuses respectives de chaque triangle. Il est fortement conseillé de colorier ou de nommer séparément les deux triangles rectangles au brouillon pour identifier clairement quelle est l'hypoténuse de chacun d'eux avant d'écrire les formules du cosinus.

Dans ce chapitre

• Angles d'un triangle rectangle et angles complémentaires de 5ème
• Arrondi au dixième et au centième d'un quotient décimal de 5ème
• Résolution d'égalités de quotients de la forme a/b = c/d de 5ème
• Côté adjacent et hypoténuse dans un triangle rectangle
• Définition du cosinus d'un angle aigu comme rapport de longueurs
• Propriété du cosinus : valeur strictement comprise entre 0 et 1
• Calculer une longueur connaissant un angle et un côté
• Calculer la mesure d'un angle aigu connaissant deux longueurs
• Invariance du rapport du cosinus par agrandissement et réduction — 4ème
• Variation du cosinus d'un angle aigu et valeurs pour 30°, 45° et 60° — 4ème
• Résolution complète d'un triangle rectangle en combinant cosinus et Pythagore — 4ème
• Triangles rectangles emboîtés et calculs avec un angle aigu partagé — 4ème
• Problèmes concrets avec le cosinus : pentes, ombres et hauteur inaccessible — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le cosinus d'un angle aigu