Problèmes concrets avec le cosinus : pentes, ombres et hauteur inaccessible — 4ème

4ème · Mathématiques 4ème

À retenir

• Un problème concret se modélise par un triangle rectangle formé par l'horizontale et la verticale. • Identifiez bien l'angle droit, l'hypoténuse et le côté adjacent sur un schéma clair. • Veillez à bien distinguer l'angle avec le sol (horizontal) de l'angle avec le mur (vertical).

Le cours

1. Modéliser une situation réelle par un triangle rectangle Dans de nombreux contextes de la vie courante (bâtiment, navigation, topographie, astronomie), des grandeurs ne peuvent pas être mesurées directement au sol avec un mètre ruban. Le cosinus d'un angle aigu permet de modéliser géométriquement ces situations à l'aide d'un triangle rectangle : Le sol horizontal et un mur vertical forment l'angle droit (90^). La pente, une échelle adossée, ou le rayon lumineux forme l'hypoténuse. L'angle avec l'horizontale est l'angle aigu d'inclinaison ou d'élévation. 2. Règle d'or de rédaction pour les problèmes concrets Pour résoudre un problème de modélisation avec succès : 1. Faire un schéma clair codé avec les lettres des sommets, l'angle droit et les grandeurs connues. 2. Identifier précisément quel sommet correspond à l'angle droit pour justifier l'emploi du cosinus. 3. Repérer si la grandeur cherchée est le côté adjacent ou l'hypoténuse. 4. Poser la formule du cosinus, isoler l'inconnue et donner une phrase de conclusion avec l'unité adaptée. 3. Erreur fréquente Confondre l'angle formé avec le sol (horizontal) et l'angle formé avec le mur ou la verticale. L'angle d'une échelle avec le sol est le complémentaire de son angle avec le mur. Lisez toujours attentivement le texte pour repérer par rapport à quelle droite de référence l'angle est mesuré.

Dans ce chapitre

• Angles d'un triangle rectangle et angles complémentaires de 5ème
• Arrondi au dixième et au centième d'un quotient décimal de 5ème
• Résolution d'égalités de quotients de la forme a/b = c/d de 5ème
• Côté adjacent et hypoténuse dans un triangle rectangle
• Définition du cosinus d'un angle aigu comme rapport de longueurs
• Propriété du cosinus : valeur strictement comprise entre 0 et 1
• Calculer une longueur connaissant un angle et un côté
• Calculer la mesure d'un angle aigu connaissant deux longueurs
• Invariance du rapport du cosinus par agrandissement et réduction — 4ème
• Variation du cosinus d'un angle aigu et valeurs pour 30°, 45° et 60° — 4ème
• Résolution complète d'un triangle rectangle en combinant cosinus et Pythagore — 4ème
• Triangles rectangles emboîtés et calculs avec un angle aigu partagé — 4ème
• Problèmes concrets avec le cosinus : pentes, ombres et hauteur inaccessible — 4ème
• Bilan : Synthèse et méthode sur le cosinus d'un angle aigu