Automatismes : Équations de droites et calcul direct du point d'intersection — 2nde

Seconde générale · Mathématiques 2nde

À retenir

• Équation réduite d'une droite non verticale : y = mx + p (m coefficient directeur, p ordonnée à l'origine). • Formule de la pente : m = y_B - y_A/x_B - x_A avec x_A x_B. • Droites sécantes : m_1 m_2. Droites parallèles : m_1 = m_2. • Abscisse d'intersection : résoudre m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2. • Ordonnée d'intersection : calculer y_I = m_1 x_I + p_1 et vérifier avec y_I = m_2 x_I + p_2. • Droite verticale x = k : l'intersection avec y = mx + p est le point (k ; mk + p).

Le cours

Équation réduite d'une droite et positions relatives Dans un repère du plan, toute droite admet une équation cartésienne caractéristique : Droite non verticale : son équation réduite est de la forme y = mx + p où : m = y_B - y_A/x_B - x_A est le coefficient directeur (pente), avec x_A x_B. p est l'ordonnée à l'origine (ordonnée du point d'intersection avec l'axe (Oy) de coordonnées (0 ; p)). Droite verticale : son équation est de la forme x = k (droite parallèle à l'axe (Oy), sans coefficient directeur défini). Positions relatives de deux droites : Deux droites (d_1) : y = m_1 x + p_1 et (d_2) : y = m_2 x + p_2 sont sécantes si et seulement si leurs pentes sont différentes (m_1 m_2). Si m_1 = m_2, elles sont parallèles. Méthode réflexe : Calcul direct du point d'intersection Pour déterminer les coordonnées (x_I ; y_I) de l'intersection de deux droites sécantes : Égaliser les ordonnées pour trouver x_I : m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2 (m_1 - m_2)x = p_2 - p_1 x_I = p_2 - p_1/m_1 - m_2 Calculer l'ordonnée y_I : Remplacer x_I dans l'équation de la première droite : y_I = m_1 x_I + p_1 Contrôle réflexe immédiat : Remplacer x_I dans l'équation de la seconde droite pour vérifier que y_I = m_2 x_I + p_2.

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