Dérivation des fonctions polynômes, rationnelles et exponentielles de Première Spé

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Formules clés : (uv)' = u'v + uv' et (u/v)' = u'v - uv'/v^2. • Exponentielle de Première : (e^x)' = e^x et (e^ax+b)' = a e^ax+b. • Équation de la tangente en a : y = f'(a)(x - a) + f(a). • Ne jamais développer le dénominateur carré v(x)^2 lors d'un calcul de dérivée.

Le cours

Rappels fondamentaux de Première Spécialité : Formules de dérivation La dérivation est l'outil central pour étudier les variations des fonctions et leurs extrema. En Première Spécialité, les règles opératoires fondamentales sur les fonctions dérivables u et v sont : Monômes et puissances : (x^n)' = n x^n-1 pour tout n N^*, avec (k)' = 0 et (x)' = 1. Combinaison linéaire : (au + bv)' = a u' + b v' pour tous réels a, b. Dérivée d'un produit : (u v)' = u'v + uv'. Dérivée d'un quotient : (u/v)' = u'v - uv'/v^2 sur tout intervalle où v(x) 0, et (1/v)' = -v'/v^2. Fonction exponentielle : (e^x)' = e^x et pour tous réels a, b, (e^ax+b)' = a e^ax+b. Tangente et interprétation géométrique Pour une fonction f dérivable en un point a, le nombre dérivé f'(a) représente la pente (ou coefficient directeur) de la tangente T_a à la courbe représentative C_f au point d'abscisse a. Équation réduite officielle de la tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a) Méthode & Réflexe opératoire Pour étudier les variations d'une fonction f : 1. Préciser le domaine de dérivabilité. 2. Calculer f'(x) en factorisant immédiatement (par l'exponentielle ou les monômes communs). 3. Ne JAMAIS développer le dénominateur v(x)^2 d'un quotient, car un carré est toujours positif ou nul. 4. Dresser le tableau de signes de f'(x) et en déduire le sens de variation de f.

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