Automatismes : Détermination directe d'une primitive de forme u' e^u, u'/u ou u' u^n — Terminale Spé

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À retenir

• u' e^u e^u + C. • u'/u (u) + C (condition u > 0). • u' u^n u^n+1n+1 + C (n -1). • Coefficient correcteur : multiplier et diviser par la constante manquante. • Toujours dériver sa primitive trouvée pour vérifier qu'on retombe sur f(x).

Le cours

Primitives de fonctions composées : Table réflexe Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si pour tout x I, F'(x) = f(x). Les formes composées indispensables au Baccalauréat sont : Forme u' e^u : u'(x) e^u(x)\,dx = e^u(x) + C Forme u'/u (avec u(x) > 0 sur I) : u'(x)/u(x)\,dx = (u(x)) + C Forme u' u^n (n Z \-1\, avec u(x) 0 sur I si n -2) : u'(x) [u(x)]^n\,dx = [u(x)]^n+1n+1 + C Forme u'/u^2 = u' u^-2 : primitive -1/u(x) + C. Forme u'u (avec u(x) > 0) : primitive 2u(x) + C. La Technique du Coefficient Correcteur L'expression à intégrer ne coïncide pas toujours exactement avec u'(x), mais en diffère d'une constante multiplicative k 0. Méthode systématique : Identifier u(x), calculer u'(x), multiplier et diviser par la constante nécessaire pour faire apparaître u'(x) : f(x) = x e^x^2 = 1/2 ( 2x e^x^2 ) = 1/2 u'(x) e^u(x) F(x) = 1/2 e^x^2 Condition initiale et unicité Pour trouver l'unique primitive F vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0, on écrit la forme générale F_0(x) + C, puis on résout l'équation F_0(x_0) + C = y_0 C = y_0 - F_0(x_0).

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