Automatismes : Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan de l'espace — Terminale Spé

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Plan de vecteur normal n(a; b; c) ax + by + cz + d = 0. • Réciproquement, le vecteur normal se lit sur les coefficients (a; b; c) de x, y, z. • Pour déterminer d : injecter les coordonnées d'un point appartenant au plan. • Plans parallèles vecteurs normaux colinéaires. • Plans orthogonaux n_1 n_2 = 0.

Le cours

Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O; i, j, k) : Définition : Un vecteur non nul n est dit normal à un plan P si la direction de n est orthogonale à toutes les droites contenues dans P. Théorème fondamental : Tout plan P admettant pour vecteur normal n(a; b; c) admet une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = 0 (avec (a; b; c) (0; 0; 0)) Réciproque : L'ensemble des points M(x; y; z) de l'espace vérifiant ax + by + cz + d = 0 avec (a; b; c) (0; 0; 0) est un plan dont un vecteur normal est n(a; b; c). Positions relatives de deux plans Plans parallèles P_1 et P_2 sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux n_1 et n_2 sont colinéaires : k 0, n_2 = k n_1. Plans perpendiculaires P_1 et P_2 sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux : n_1 n_2 = 0. Méthode réflexe : Écrire l'équation d'un plan en 2 étapes 1. Écrire l'ébauche ax + by + cz + d = 0 en recopiant les composantes de n(a; b; c). 2. Remplacer (x, y, z) par les coordonnées d'un point connu A(x_A; y_A; z_A) P pour calculer immédiatement d = -(ax_A + by_A + cz_A).

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions polynômes, rationnelles et exponentielles de Première Spé
• Résolution d'équations du second degré et trigonométrie de Première Spé
• Produit scalaire, coordonnées de vecteurs et orthogonalité de Première Spé
• Automatismes : Dérivation réflexe des fonctions composées e^u(x) et (u(x)) — Terminale Spé
• Automatismes : Dérivation réflexe des puissances [u(x)]^n et quotients u/v — Terminale Spé
• Automatismes : Limites directes et levée des formes indéterminées par factorisation du terme dominant — Terminale Spé
• Automatismes : Croissances comparées directes entre puissances, exponentielle et logarithme — Terminale Spé
• Automatismes : Détermination directe d'une primitive de forme u' e^u, u'/u ou u' u^n — Terminale Spé
• Automatismes : Calcul réflexe d'intégrales par primitives immédiates — Terminale Spé
• Automatismes : Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace à 3 dimensions — Terminale Spé
• Automatismes : Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan de l'espace — Terminale Spé
• Automatismes : Représentation paramétrique d'une droite de l'espace — Terminale Spé
• Automatismes : Probabilités conditionnelles réflexes et formule des probabilités totales — Terminale Spé
• Bilan : Synthèse et méthode sur les automatismes de Terminale Spé