Automatismes : Dérivation réflexe des puissances [u(x)]^n et quotients u/v — Terminale Spé

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À retenir

• (u^n)' = n u' u^n-1 pour tout n Z^* (avec u(x) 0 si n 0. • (u/v)' = u'v - uv'/v^2 : interdiction de développer v(x)^2. • Factoriser par les termes communs au numérateur avant de réduire.

Le cours

Dérivation des puissances composées [u(x)]^n Pour une fonction u dérivable sur un intervalle I : Puissances entières (n N^*) : ([u(x)]^n)' = n u'(x) [u(x)]^n-1 Puissances négatives / inverses (n N^*, avec u(x) 0) : (1/[u(x)]^n)' = ([u(x)]^-n)' = -n u'(x) [u(x)]^-n-1 = -n u'(x)[u(x)]^n+1 Racine carrée composée (avec u(x) > 0) : (u(x))' = u'(x)2u(x) Le Réflexe Absolu du Quotient : (u/v)' = u'v - uv'/v^2 Lors du calcul de la dérivée d'un quotient : RÈGLE D'OR DU BAC : NE JAMAIS DÉVELOPPER LE DÉNOMINATEUR v(x)^2. Le dénominateur est un carré, donc toujours strictement positif sur son ensemble de définition. Développer ce carré complique inutilement l'expression et empêche d'identifier son signe immédiat. Technique de factorisation anticipée du numérateur Lorsque le dénominateur v est lui-même une puissance (par exemple v(x) = (x^2+1)^2), sa dérivée v' contient le facteur (x^2+1). On doit factoriser ce terme commun au numérateur AVANT tout développement, puis simplifier avec le dénominateur.

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