Automatismes : Croissances comparées directes entre puissances, exponentielle et logarithme — Terminale Spé

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À retenir

• En + : e^x/x^n = + et (x)/x^n = 0. • En - : x^n e^x = 0. • En 0^+ : x^n (x) = 0. • Toujours citer : « par croissances comparées ». • Réflexe : développer les produits avec e^x ou (x) pour faire apparaître les limites usuelles.

Le cours

La hiérarchie des croissances en l'infini Au voisinage de +, les fonctions usuelles croissent à des rythmes fondamentalement distincts : (x) x^n e^x (pour tout n 1) L'exponentielle l'emporte toujours sur toute puissance polynomiale, qui l'emporte elle-même toujours sur le logarithme népérien. Les 4 Théorèmes Officiels de Croissances Comparées Exponentielle et puissances • En + : pour tout n N^*, _x + e^x/x^n = + et _x + x^n/e^x = 0 • En - : pour tout n N^*, _x - x^n e^x = 0 Logarithme et puissances • En + : pour tout n N^*, _x + (x)/x^n = 0 • En 0^+ : pour tout n N^*, _x 0^+ x^n (x) = 0 Méthode d'ajustement de variable Lorsque l'exposant n'est pas simplement x mais kx (ex: e^3x ou e^-2x) : 1. Effectuer le changement de variable X = kx pour faire apparaître exactement la forme e^X/X^n ou X^n e^X. 2. Ajuster les coefficients constants multiplicateurs.

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