Automatismes : Dérivation réflexe des fonctions composées e^u(x) et (u(x)) — Terminale Spé

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• (e^u)' = u' e^u sur tout domaine où u est dérivable. • ( u)' = u'/u sur tout domaine où u(x) > 0. • e^u(x) > 0 sur R : le signe de u' e^u est toujours celui de u'. • Toujours vérifier que u(x) > 0 avant de dériver (u(x)).

Le cours

Formules fondamentales de dérivation des composées Au Baccalauréat Spécialité Mathématiques, la maîtrise instantanée de la dérivation des fonctions composées de la forme e^u(x) et (u(x)) est un automatisme incontournable : Composée exponentielle : si u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f(x) = e^u(x) est dérivable sur I et : (e^u(x))' = u'(x) e^u(x) Composée logarithmique : si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle I (u(x) > 0), alors la fonction g(x) = (u(x)) est dérivable sur I et : ((u(x)))' = u'(x)/u(x) Réflexes d'étude de signe Pour f'(x) = u'(x) e^u(x) Puisque l'exponentielle est strictement positive (e^u(x) > 0 sur R), le signe de f'(x) est strictement identique à celui de u'(x). Pour g'(x) = u'(x)/u(x) Comme u(x) > 0 par condition de définition du logarithme, le dénominateur est toujours strictement positif : le signe de g'(x) est celui de u'(x). Protocole réflexe en 3 temps 1. Poser explicitement la fonction intérieure u(x) et calculer sa dérivée u'(x). 2. Appliquer la formule en multipliant par u'(x) (en préfixe pour e^u, au numérateur pour u). 3. Dans les sommes ou produits plus complexes, factoriser immédiatement par e^u(x) pour isoler les facteurs algébriques dont dépend le signe.

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions polynômes, rationnelles et exponentielles de Première Spé
• Résolution d'équations du second degré et trigonométrie de Première Spé
• Produit scalaire, coordonnées de vecteurs et orthogonalité de Première Spé
• Automatismes : Dérivation réflexe des fonctions composées e^u(x) et (u(x)) — Terminale Spé
• Automatismes : Dérivation réflexe des puissances [u(x)]^n et quotients u/v — Terminale Spé
• Automatismes : Limites directes et levée des formes indéterminées par factorisation du terme dominant — Terminale Spé
• Automatismes : Croissances comparées directes entre puissances, exponentielle et logarithme — Terminale Spé
• Automatismes : Détermination directe d'une primitive de forme u' e^u, u'/u ou u' u^n — Terminale Spé
• Automatismes : Calcul réflexe d'intégrales par primitives immédiates — Terminale Spé
• Automatismes : Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace à 3 dimensions — Terminale Spé
• Automatismes : Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan de l'espace — Terminale Spé
• Automatismes : Représentation paramétrique d'une droite de l'espace — Terminale Spé
• Automatismes : Probabilités conditionnelles réflexes et formule des probabilités totales — Terminale Spé
• Bilan : Synthèse et méthode sur les automatismes de Terminale Spé