Automatismes : Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace à 3 dimensions — Terminale Spé

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Formule 3D : u v = xx' + yy' + zz'. • Norme : \|u\| = x^2 + y^2 + z^2. • Orthogonalité : u v u v = 0. • () = u v\|u\| \|v\|. • Pour prouver qu'un vecteur est normal à un plan, tester l'orthogonalité avec 2 vecteurs directeurs non colinéaires.

Le cours

Produit scalaire et norme dans l'espace orthonormé Dans un repère orthonormé (O; i, j, k) de l'espace à 3 dimensions, pour tous vecteurs u(x; y; z) et v(x'; y'; z') : Produit scalaire analytique : u v = xx' + yy' + zz' Norme euclidienne : \|u\| = x^2 + y^2 + z^2 Distance entre deux points A(x_A; y_A; z_A) et B(x_B; y_B; z_B) : AB = \|AB\| = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2 Formule de l'angle : u v = \|u\| \|v\| (u, v) () = xx' + yy' + zz'x^2+y^2+z^2 x'^2+y'^2+z'^2 Le Théorème Fondamental d'Orthogonalité dans l'Espace Critère réflexe : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u v u v = 0 xx' + yy' + zz' = 0 Orthogonalité d'une droite et d'un plan Une droite D de vecteur directeur w est orthogonale à un plan P si et seulement si w est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de P : w u = 0 et w v = 0

Dans ce chapitre

• Dérivation des fonctions polynômes, rationnelles et exponentielles de Première Spé
• Résolution d'équations du second degré et trigonométrie de Première Spé
• Produit scalaire, coordonnées de vecteurs et orthogonalité de Première Spé
• Automatismes : Dérivation réflexe des fonctions composées e^u(x) et (u(x)) — Terminale Spé
• Automatismes : Dérivation réflexe des puissances [u(x)]^n et quotients u/v — Terminale Spé
• Automatismes : Limites directes et levée des formes indéterminées par factorisation du terme dominant — Terminale Spé
• Automatismes : Croissances comparées directes entre puissances, exponentielle et logarithme — Terminale Spé
• Automatismes : Détermination directe d'une primitive de forme u' e^u, u'/u ou u' u^n — Terminale Spé
• Automatismes : Calcul réflexe d'intégrales par primitives immédiates — Terminale Spé
• Automatismes : Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace à 3 dimensions — Terminale Spé
• Automatismes : Vecteur normal et équation cartésienne d'un plan de l'espace — Terminale Spé
• Automatismes : Représentation paramétrique d'une droite de l'espace — Terminale Spé
• Automatismes : Probabilités conditionnelles réflexes et formule des probabilités totales — Terminale Spé
• Bilan : Synthèse et méthode sur les automatismes de Terminale Spé