Produit scalaire, coordonnées de vecteurs et orthogonalité de Première Spé

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Formule analytique : u v = xx' + yy' (en repère orthonormé uniquement). • Norme euclidienne : \|u\| = x^2 + y^2. • Condition d'orthogonalité : u v u v = 0. • Vecteur normal n(a; b) à une droite ax + by + c = 0. • () = u v\|u\| \|v\|.

Le cours

Le produit scalaire dans le plan : Définitions et expressions Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est un nombre réel. Selon le contexte de l'exercice, trois formulations sont mobilisées : Formule trigonométrique : u v = \|u\| \|v\| (), où = (u, v). Formule analytique (en repère orthonormé (O; i, j)) : si u(x; y) et v(x'; y'), alors : u v = xx' + yy' et la norme de u est \|u\| = x^2 + y^2. Formule du projeté orthogonal : si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors : AB AC = AB AH = AB AH (signe + si AB et AH ont même sens, - sinon). Caractérisation de l'orthogonalité et équation de droite Critère d'orthogonalité Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si : u v = 0 xx' + yy' = 0 Vecteur normal à une droite Une droite D de vecteur normal non nul n(a; b) admet une équation cartésienne : ax + by + c = 0 Calcul d'angles par le produit scalaire Pour déterminer la mesure d'un angle géométrique BAC : 1. Calculer le produit scalaire AB AC = x_AB x_AC + y_AB y_AC. 2. Calculer les longueurs AB = x_AB^2 + y_AB^2 et AC = x_AC^2 + y_AC^2. 3. En déduire (BAC) = AB ACAB AC, puis obtenir l'angle avec la touche ^-1 (ou Arccos) de la calculatrice.

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