Propriétés géométriques d'une ellipse

Terminale générale Spé · Physique-Chimie Spé Terminale

À retenir

• Définition bifocale : MF + MF' = 2a. • Demi-grand axe a : plus grande dimension du centre au sommet. • Excentricité : e = c/a [0\, ;\, 1[. • Le cercle est le cas particulier limite d'une ellipse d'excentricité nulle (e = 0).

Le cours

Foyers, demi-grand axe et excentricité Une ellipse est une courbe plane fermée définie géométriquement comme l'ensemble des points M dont la somme des distances à deux points fixes F et F' (appelés les foyers) est strictement constante : MF + MF' = 2\,a où a est la longueur du demi-grand axe : • Le grand axe mesure 2\,a ; le demi-petit axe est noté b. • La distance entre les deux foyers est notée 2\,c, avec la relation géométrique de Pythagore : a^2 = b^2 + c^2 • L'excentricité e mesure l'aplatissement de l'ellipse : e = c/a avec 0 e cercle parfait de rayon R. Distances au foyer et tracé de l'ellipse Pour un point M de l'ellipse, la distance MF au foyer F varie entre deux valeurs extrêmes, atteintes aux deux sommets du grand axe : • distance minimale : a - c = a(1 - e) ; • distance maximale : a + c = a(1 + e). Leur somme vaut 2a : leur moyenne est donc le demi-grand axe a. Tracé « du jardinier » : on fixe les extrémités d'une ficelle de longueur 2a en F et F' ; un crayon qui tend la ficelle décrit l'ellipse, puisque MF + MF' reste égal à 2a. Mini-exemple : pour a = 13 cm et c = 5 cm, on obtient e = 5/13 0,38, b = 169 - 25 = 12 cm, et la distance au foyer varie de 8 cm à 18 cm.

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