Période de révolution d'un satellite en orbite circulaire

Terminale générale Spé · Physique-Chimie Spé Terminale

À retenir

• Période orbitale circulaire : T = 2 r^3/G M. • Démonstration : T = 2 r/v combiné avec v = G M/r. • Retrouve la 3e loi de Kepler : T^2/r^3 = 4^2/G M = cste. • Unités SI : T en secondes (s), r en mètres (m), M en kg.

Le cours

Démonstration de la formule de la période et 3e loi de Kepler La période de révolution T est la durée mise par le satellite pour parcourir la circonférence complète de son orbite circulaire (L = 2 r) à la vitesse constante v : T = 2 r/v En remplaçant la vitesse orbitale par son expression v = G M/r : T = 2 rG M/r = 2 r r/G M = 2r^3/G\,M En élevant cette relation au carré, on retrouve mathématiquement la troisième loi de Kepler : T^2 = 4^2/G\,M\,r^3 T^2/r^3 = 4^2/G\,M Cette démonstration rigoureuse relie directement la cinématique circulaire et la loi de la gravitation. Méthode : de la période au rayon, et inversement 1. Convertir la période en secondes et le rayon en mètres, avec r = R + h. 2. Pour calculer la période : T = 2r^3/G M. 3. Pour calculer le rayon à partir de la période : r = (G M T^2/4^2)^1/3, puis l'altitude h = r - R. 4. Vérifier l'ordre de grandeur : en orbite basse autour de la Terre (quelques centaines de km d'altitude), T vaut environ 1 h 30 min ; la Lune, à environ 384\,000 km, met environ 27 jours. Attention La période croît comme r^3/2 : multiplier le rayon de l'orbite par 4 multiplie la période par 4^3/2 = 8, et non par 4 ni par 16.

Dans ce chapitre