Génération d'une suite par récurrence et par formule explicite dans un carnet de commandes

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Récurrence : u_n+1 = q u_n avec u_0 donné ; formule explicite : u_n = u_0 q^n. • q = 1,06 pour une hausse de 6\ \% : le coefficient multiplicatif est le lien entre les deux écritures. • u_n applique exactement n évolutions depuis u_0 : ne pas décaler l'exposant de un.

Le cours

1. Une suite numérique décrite par ses termes Une suite numérique associe un nombre à chaque rang n : le carnet de commandes du mois n est le terme de rang n, noté u_n. Il existe deux façons écrites de décrire cette suite, et l'on passe de l'une à l'autre par le calcul. • Par récurrence : on donne le premier terme et la relation entre deux termes consécutifs, par exemple u_n+1 = 1,06 u_n. • Par formule explicite : on donne directement u_n en fonction du rang, par exemple u_n = 24\ 500 1,06^n. • La récurrence se lit terme par terme ; la formule explicite permet d'atteindre n'importe quel rang, même élevé. 2. Mise en équation de la situation de gestion Une entreprise de négoce ouvre son exercice avec un carnet de commandes de 24\ 500\ € au mois de janvier. La direction annonce une hausse de 6\ \% du carnet chaque mois, sans commande exceptionnelle : le montant du mois n est alors le terme de rang n d'une suite géométrique de raison q = 1,06. Avec u_0 = 24\ 500 au mois de janvier, la récurrence s'écrit u_n+1 = 1,06 u_n et la formule explicite u_n = 24\ 500 1,06^n. Les deux écritures décrivent exactement la même suite. Rang n012345 MoisJanv.Févr.MarsAvrilMaiJuin u_n en euros24\ 50025\ 97027\ 528,2029\ 179,8930\ 930,6932\ 786,53 Écart mensuel—+1\ 470+1\ 558,20+1\ 651,69+1\ 750,80+1\ 855,84 Taux mensuel—+6,0\ \%+6,0\ \%+6,0\ \%+6,0\ \%+6,0\ \% 3. Piège du coefficient multiplicatif Une hausse de 6\ \% ne signifie pas que l'on ajoute 0,06 24\ 500 à tous les termes : le montant augmente de 6\ \% de sa propre valeur. Ajouter une somme fixe donnerait une suite arithmétique (u_n+1 = u_n + 1\ 470), alors que le carnet suit une progression géométrique. Second piège : u_1 = 1,06 u_0 est déjà le résultat de la première évolution. Avec u_0 au mois de janvier, u_n = u_0 q^n applique n hausses : pour le mois de juin on écrit bien 1,06^5 et non 1,06^6. 4. Méthode : deux chemins de calcul Pour les trois ou quatre premiers rangs, la récurrence terme à terme est la plus rapide et la moins risquée. Dès que le rang demandé s'éloigne, on bascule sur la formule explicite, qui demande une seule puissance. • Récurrence, pour mars : u_2 = 1,06 25\ 970 = 27\ 528,20. • Formule explicite, pour le même mois : 24\ 500 1,06^2 = 27\ 528,20. • Les deux résultats coïncident : c'est la vérification qui valide la mise en équation.

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