Comparaison de deux rythmes de croissance sur dix ans

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• À montant initial égal, le plus grand coefficient donne le plus grand montant à chaque rang. • Le rang de croisement se repère au changement de signe de l'écart entre les deux séries. • Un écart qui change de signe entre deux années consécutives est une décision à prendre, pas une curiosité de calcul.

Le cours

1. Comparer deux coefficients, puis deux montants Deux entreprises qui croissent à des rythmes différents finissent toujours par se séparer : c'est le coefficient multiplicatif annuel qui commande l'écart sur la durée. Comparer deux rythmes consiste donc à comparer q_1 et q_2, puis à vérifier par un calcul sur un même rang. • À montant de départ égal, le plus grand coefficient donne le plus grand montant à chaque rang n. • À coefficients égaux, le plus grand montant de départ reste devant. • Le rang de croisement est le premier rang où l'ordre s'inverse : c'est lui qui intéresse un décideur. 2. Méthode en trois temps Comparer deux rythmes de croissance ne se fait jamais en comparant une seule valeur : un écart isolé ne dit rien sur la durée. • 1. Comparer les coefficients annuels q_1 et q_2 : c'est la vitesse de séparation. • 2. Calculer les deux séries au même rang, de préférence à un rang déjà connu. • 3. Encadrer le rang de croisement en testant deux années consécutives. AnnéeCarnet A (6 %)Carnet B (9 %)Écart A − B 034\ 000\ €32\ 000\ €+2\ 000 238\ 202\ €38\ 019\ €+183 340\ 495\ €41\ 441\ €-946 545\ 500\ €49\ 236\ €-3\ 736 1060\ 889\ €75\ 756\ €-14\ 867 3. Pièges de comparaison Conclure « le carnet qui a le plus fort taux est le plus gros » est faux à court terme dès que les montants de départ diffèrent : dans le tableau, le carnet B, plus rapide, est en retard jusqu'à l'année 2 et ne dépasse le carnet A qu'en année 3. Second piège : comparer deux coefficients et en déduire un classement pour toutes les années. Un seul rang ne prouve rien ; il faut au moins deux rangs successifs, et de préférence le rang le plus avancé de l'horizon. 4. Ce que dit un tableau comparatif Un tableau comparatif se lit en suivant la colonne des écarts : tant que le signe est constant, le classement est stable ; quand il change de signe, un croisement vient de se produire. • Écart positif en année 0, 2 puis négatif en année 3 : le carnet B a rattrapé puis dépassé le carnet A entre les années 2 et 3. • Après le croisement, l'écart se creuse au profit de B : -946 en année 3, -3\ 736 en année 5, puis -14\ 867 en année 10. • Décision : un plan commercial sur dix ans doit tenir compte du rythme le plus rapide, pas du montant le plus élevé aujourd'hui.

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