Suites arithmétiques de quantités cumulées : stock, encours et commandes en attente

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Suite arithmétique : u_n+1 = u_n + r et u_n = u_0 + n r. • Le signe de r est donné par le sens de gestion : stock qui sort en moins, carnet qui s'accumule. • Une quantité cumulée reste positive ou nulle : au-delà, c'est une rupture de stock, pas un terme négatif.

Le cours

1. Une quantité qui s'ajoute ou se retranche à rythme constant Lorsqu'une quantité avance d'un pas constant à chaque période — 180 palettes livrées par mois, 38 commandes reçues par jour — les termes de la suite vérifient u_n+1 = u_n + r, avec r la raison de la suite arithmétique. La formule explicite est u_n = u_0 + n r. • Un stock qui diminue de 180 unités par mois a une raison r = -180 (le signe fait partie de la donnée). • Un carnet de commandes en attente qui grossit de 45 par jour a une raison r = +45. • La formule u_n = u_0 + n r permet d'atteindre directement un rang élevé sans calculer les termes intermédiaires. 2. Trois cumuls de gestion Trois grandeurs de gestion suivent une suite arithmétique dès qu'un flux constant s'ajoute ou se retranche à un stock initial. • Stock restant : u_n+1 = u_n - sorties + réceptions, avec un flux net constant. • Commandes en attente : chaque matin, de nouvelles commandes s'ajoutent à la file d'attente, et chaque soir on en retire celles qui ont été traitées. • Encours client : la somme de ce qui reste dû augmente à chaque livraison et diminue à chaque encaissement. Rang nStock restantCommandes livrées 01\ 500— 11\ 320180 21\ 140360 3960540 4780720 5600900 64201\ 080 72401\ 260 8601\ 440 9Rupture : stock épuisé, 120 palettes manquantes1\ 500 au lieu de 1\ 620 3. Une quantité cumulée ne peut pas devenir négative Au rang 8, il reste 1\ 500 - 1\ 440 = 60 palettes ; au rang 9, la formule donnerait 1\ 500 - 1\ 620 = -120. Un stock ne peut pas être négatif : la rupture survient au cours du 9e mois et le modèle cesse alors de décrire la réalité. C'est pour l'éviter que l'on déclenche un réassort avant. Le modèle arithmétique n'a donc de sens que sur la plage où la quantité reste physiquement possible : vérifier le signe du dernier terme fait partie du travail. 4. Méthode : comparer une quantité cumulée à un seuil La question la plus fréquente est un seuil : « à partir de quand le stock passe-t-il sous 400 unités ? ». On écrit l'inégalité, puis on teste les rangs successifs, sans outils compliqués. • Écrire l'inégalité : 1\ 500 - 180 n • Tester les rangs encadrants : n = 6 donne 420 unités, n = 7 donne 240 unités. • Conclure : le seuil est franchi au rang 7, et non au rang 6.

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