Recherche d'un terme de rang élevé dans une projection de ventes

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• u_n = u_0 q^n : l'exposant est le nombre exact de périodes appliquées. • Décomposer l'exposant (q^30 = q^20 q^10) rend le calcul manuel possible. • Garder quatre décimales sur les puissances intermédiaires, arrondir seulement le résultat final.

Le cours

1. La formule explicite pour un rang élevé Pour atteindre un rang élevé, la formule explicite u_n = u_0 q^n est la plus efficace : la récurrence imposerait de calculer tous les termes intermédiaires. Le travail consiste alors à rendre le calcul de q^n faisable à la main. • Décomposer l'exposant : q^30 = q^20 q^10 ou q^30 = (q^5)^6. • Calculer d'abord les petites puissances, qui sont exactes et rapides. • Multiplier ensuite les puissances obtenues, sans arrondir au passage. 2. Table de puissances utiles Une table des premières puissances du coefficient évite les erreurs et fait gagner du temps. Il suffit de la compléter par les puissances construites à partir d'elle. • Toujours garder un chiffre de plus que nécessaire : arrondir q^10 à trois décimales fausse le résultat final. • Vérifier la cohérence : q^30 doit être compris entre q^20 et q^40. Rang n1,04^n1,06^n1,08^n 11,04001,06001,0800 51,21671,33821,4693 101,48021,79082,1589 202,19113,20714,6610 303,24345,743510,0627 3. Pièges des rangs élevés Le nombre d'applications du coefficient est égal à l'exposant : avec u_0 au début de la période, u_10 = u_0 q^10 et non q^11. Compter les périodes sur une frise avant de calculer évite l'erreur. Autre piège : arrondir les puissances intermédiaires. Si 1,06^10 est arrondi à 1,79 puis élevé au carré pour obtenir 1,06^20, on trouve 3,204\ 1 au lieu de 3,207\ 1 : sur une base de 2 millions d'euros, la prévision à vingt ans est fausse de plus de 6\ 000\ €. 4. Méthode : trois étapes pour un terme de rang élevé Le calcul d'un terme éloigné se décompose en étapes courtes, chacune vérifiable. • 1. Écrire u_n = u_0 q^n et décomposer n en sommes de 5, 10 ou 20. • 2. Calculer les puissances intermédiaires avec quatre décimales au moins. • 3. Multiplier, puis contrôler l'ordre de grandeur avec la table : pour q = 1,06 et n = 20, u_20 doit valoir un peu plus de 3 fois u_0.

Dans ce chapitre

• Proportionnalité, pourcentages successifs et coefficient multiplicatif de classe de 3e
• Nombres décimaux, écriture scientifique et arrondis significatifs de classe de 4e
• Lecture d'un graphique, échelle et proportionnalité des axes de classe de Seconde
• Génération d'une suite par récurrence et par formule explicite dans un carnet de commandes
• Sens de variation d'une suite de ventes et interprétation d'un ralentissement mensuel
• Nuage de points d'une suite et repérage d'un écart au trend de ventes
• Suites arithmétiques de quantités cumulées : stock, encours et commandes en attente
• Suites géométriques de croissance : coefficient annuel et plan de charge
• Passage du coefficient multiplicatif au taux de croissance annuel
• Représentation en bâtons d'une suite de valeurs mensuelles
• Comparaison de deux rythmes de croissance sur dix ans
• Recherche d'un terme de rang élevé dans une projection de ventes
• Propagation d'un arrondi dans un calcul de prévision
• Bilan : Synthèse et méthode sur Croissance des ventes et modélisation par suite numérique