Suites géométriques de croissance : coefficient annuel et plan de charge

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Croissance en pourcentage : u_n+1 = q u_n avec q = 1 + t/100, donc u_n = u_0 q^n. • Un plan de charge compare une charge projetée (qui croît) à une capacité (qui reste constante). • L'année de saturation se trouve en testant deux rangs consécutifs autour du seuil.

Le cours

1. Croissance en pourcentage : la suite géométrique Quand une charge ou un carnet de commandes augmente d'un pourcentage constant t chaque année, les termes vérifient u_n+1 = q u_n avec q = 1 + t/100 : c'est une suite géométrique de raison q, et sa formule explicite est u_n = u_0 q^n. • Croissance de 12\ \% par an : q = 1,12, donc u_5 = u_0 1,12^5. • Baisse de 4\ \% par an : q = 0,96, la suite est alors décroissante. • Le coefficient q ne dépend que du taux : deux entreprises avec le même taux ont le même rythme de croissance. 2. Le plan de charge : projeter puis comparer à une capacité Un plan de charge met en regard la charge projetée d'une activité et la capacité que l'entreprise est capable de traiter. La capacité est généralement fixe : c'est alors la charge, qui croît géométriquement, qui finit par dépasser la capacité. • Capacité installée : 300\ 000 commandes par an, constante sur toute la période. • Charge projetée : 180\ 000 commandes en année 0, en croissance de 12\ \% par an. • Tant que la charge projetée reste sous la capacité, le plan de charge est tenable ; dès qu'elle la dépasse, il faut investir ou externaliser. AnnéeCharge projetéeCapacité installéeMarge 0180\ 000300\ 000+120\ 000 1201\ 600300\ 000+98\ 400 2225\ 792300\ 000+74\ 208 3252\ 887300\ 000+47\ 113 4283\ 233300\ 000+16\ 767 5317\ 222300\ 000-17\ 222 3. Pièges du plan de charge Une croissance de 12\ \% par an n'est pas une hausse de 12\ \% du montant initial chaque année : la deuxième année ajoute 12\ \% d'un montant déjà augmenté, donc davantage de commandes. Le plan de charge sous-estime la montée en charge si l'on fige la hausse. La capacité, elle, ne bouge pas : elle reste à 300\ 000 commandes. Toute la difficulté du plan de charge vient de cette rencontre entre une suite géométrique croissante et une constante. 4. Méthode : trouver l'année de saturation Pour l'année où la charge dépasse la capacité, on écrit l'inégalité, on teste les rangs successifs et on encadre le résultat, sans aucun outil supplémentaire. • Écrire l'inégalité : 180\ 000 1,12^n > 300\ 000. • Tester les rangs voisins : en année 4 la charge vaut 283\ 233, en année 5 elle vaut 317\ 222. • Conclure et chiffrer le dépassement : 17\ 222 commandes à traiter en plus.

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