Passage du coefficient multiplicatif au taux de croissance annuel

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• q = 1 + t/100 et t = (q - 1) 100 : deux écritures du même changement. • Le coefficient n'a pas d'unité et vaut 1 pour une stabilité ; le taux porte le signe de la variation. • Des variations successives se cumulent par multiplication des coefficients.

Le cours

1. Deux façons de dire la même chose Un taux de croissance et un coefficient multiplicatif décrivent le même changement, mais dans deux unités différentes. Le coefficient est sans unité et supérieur à 1 pour une hausse ; le taux est exprimé en pourcentage et s'obtient en retranchant 1. • Du taux au coefficient : q = 1 + t/100, ainsi 7\ \% donne q = 1,07. • Du coefficient au taux : t = (q - 1) 100, ainsi q = 1,075 donne t = 7,5\ \%. • Une baisse donne un coefficient inférieur à 1 et un taux négatif : q = 0,94 équivaut à t = -6\ \%. 2. À quoi sert le taux en gestion Le taux est l'unité de comparaison entre entreprises et entre exercices : deux filiales de tailles différentes peuvent afficher le même taux de croissance annuel tout en ayant des montants très éloignés. • Comparer des croissances : un taux double signifie une vitesse double, pas un montant double. • Justifier une facture : un prix affiché TTC et un prix HT se relient par un coefficient, donc par un taux. • Rédiger une prévision : passer d'un taux contractuel à un coefficient permet d'appliquer une clause d'indexation. Coefficient qTaux annuelInterprétation 0,85-15\ \%Forte baisse : 15\ € perdus sur 100\ € 0,94-6\ \%Recul modéré 1,075+7,5\ \%Croissance saine 1,12+12\ \%Croissance rapide 1,000\ \%Stabilité 3. Piège : confondre coefficient et taux Dire « le carnet a augmenté de 1,08\ \% » revient à écrire 1,08\ \% là où il faut écrire 8\ \% : le coefficient multiplicatif n'est pas un pourcentage, il n'a pas d'unité. Second piège : enchaîner un coefficient et un taux en les additionnant. Une hausse de 8\ \% (q = 1,08) suivie d'une baisse de 8\ \% (q = 0,92) donne 1,08 0,92 = 0,9936, soit -0,64\ \% et non 0\ \%. 4. Méthode en quatre lignes Le passage dans un sens ou dans l'autre tient en quatre étapes, valables pour n'importe quel chiffre de gestion. • 1. Identifier le sens : hausse ou baisse ? Le signe du taux en découle. • 2. Convertir : q = 1 + t/100 ou t = (q - 1) 100. • 3. Enchaîner les coefficients successifs si plusieurs variations se suivent. • 4. Contrôler : le taux retrouvé doit donner le même montant que le coefficient.

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