Propagation d'un arrondi dans un calcul de prévision

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Arrondir une donnée crée une erreur d'au plus la moitié du pas, qui se propage ; arrondir seulement le résultat final évite toute propagation. • Douze relevés mensuels arrondis au millier : encadrement du total à \ 6\ 000\ €. • Comparer deux montants arrondis n'est concluant que si l'écart dépasse l'encadrement cumulé.

Le cours

1. Deux arrondis à distinguer Arrondir une donnée avant de calculer introduit une erreur qui se transmet à tous les calculs suivants. Arrondir seulement le résultat final limite l'erreur à la moitié du pas d'affichage, sans aucune propagation. • Donnée arrondie : 128\ 543\ € devient 129\ 000\ €, soit un écart de 457\ €, au plus 500\ € dans tous les cas. • Résultat arrondi : on calcule d'abord, on arrondit à la fin, et le montant obtenu est fidèle au calcul. • L'erreur d'arrondi ne se rattrape pas : elle se propage à toutes les étapes suivantes. 2. La règle du chiffre de garde Pour éviter la propagation d'un arrondi, on conserve un chiffre de plus que le résultat attendu pendant tous les calculs intermédiaires, et l'on arrondit uniquement à la dernière ligne. • Résultat attendu au millier : garder le chiffre des centaines pendant les calculs. • Résultat attendu au dixième d'euro : garder les centimes d'euro jusqu'au bout. • Sur douze relevés mensuels, un arrondi au millier par mois peut déplacer le total de 6\ 000\ € : l'incertitude se cumule. Quantité calculéeValeur affichéeÉcart maximal Un relevé mensuel arrondi au millier129\ 000\ €\ 500\ € Douze relevés mensuels arrondis au millier1\ 543\ 000\ €\ 6\ 000\ € Un écart entre deux relevés arrondis au millier7\ 000\ €\ 1\ 000\ € 3. Pièges de comparaison entre montants arrondis Deux montants arrondis égaux peuvent cacher un écart réel presque égal au pas d'arrondi. Si deux scénarios affichent tous deux 330\ 000\ € à la dizaine de milliers près, l'un peut valoir 325\ 000\ € et l'autre près de 335\ 000\ € : on ne peut ni les classer ni les dire égaux. S'ils diffèrent d'un pas, le classement est sûr, mais l'écart réel peut aller de presque 0 à presque deux pas. Enchaîner des valeurs déjà arrondies est plus grave : compiler douze mois arrondis au millier revient à cumuler douze erreurs de signe quelconque, dont l'effet peut atteindre 6\ 000\ €. 4. Méthode : ce que l'on peut et ne peut pas conclure Avec des données arrondies, on peut calculer un encadrement. C'est la seule réponse mathématiquement honnête à une question posée sur des relevés arrondis. • 1. Écrire l'encadrement de chaque donnée : valeur arrondie la moitié du pas. • 2. Cumuler les écarts : n fois la moitié du pas. • 3. Comparer l'écart affiché à cette incertitude cumulée : s'il est du même ordre, la comparaison n'est pas concluante.

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