Fonction linéaire et image d'un nombre de classe de 3e

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Une fonction linéaire s'écrit f(x) = a x et sa droite passe par l'origine : f(0) = 0. • L'image de x s'obtient en multipliant par le coefficient : ici 0,02\ V par millimètre. • Deux propriétés utiles : f(kx) = k f(x) et f(x + y) = f(x) + f(y). • Une fonction linéaire ne modélise un capteur que sur sa plage d'étalonnage.

Le cours

1. Une fonction linéaire associe à un nombre un autre nombre Un capteur de position potentiométrique d'un chariot convertit un déplacement en tension. Sur sa plage utile, cette conversion est une fonction linéaire notée f : à une abscisse x en millimètres correspond une unique image f(x) en volts. f(x) = a x avec f(0) = 0 Calculer l'image d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par le coefficient. Ici a = 0,02, donc f(120) = 0,02 120 = 2,40\ V. La droite qui représente f passe par l'origine du repère : c'est la propriété qui distingue une fonction linéaire d'une fonction affine comme g(x) = a x + b. 2. Le tableau des images permet de travailler sans calcul Recenser quelques images dans un tableau permet de répondre à la plupart des questions par simple lecture : il reste ensuite à étendre ce tableau par le coefficient. Position x en mm 0 Tension f(x) en volts 0,00 Position x en mm 50 Tension f(x) en volts 1,00 Position x en mm 100 Tension f(x) en volts 2,00 Position x en mm 150 Tension f(x) en volts 3,00 Position x en mm 200 Tension f(x) en volts 4,00 • Deux positions qui doublent donnent deux tensions qui doublent : f(2x) = 2f(x). • L'image d'une somme est la somme des images : f(50 + 100) = f(50) + f(100). 3. Piège : prolonger la droite hors de la plage d'étalonnage La fonction linéaire ne décrit le capteur que sur sa plage d'étalonnage, c'est-à-dire entre 0 et 250\ mm, tension comprise entre 0 et 5,00\ V. Hors de cette plage, la tension est bloquée par la butée mécanique ou par l'amplificateur : la fonction linéaire n'est plus le modèle du système. Calculer f(320) = 6,40\ V sur un capteur borné à 5,00\ V revient à annoncer une valeur de tension impossible : on ne prolonge pas une droite d'étalonnage hors du domaine de validité.

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